2 exercices corrigés sur Approfondissement, chapitre Suites numériques, niveau Première Spé. Entraînement en mathématiques sur Maths Manager.
Exercice 1
On considère les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ définies par leur premier terme $U_0 = 1$ et $V_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[
\begin{cases}
U_{n+1} = \frac{1}{3}U_n+\frac{2}{3}V_n \\
V_{n+1} = \frac{1}{5}U_n+\frac{4}{5}V_n
\end{cases}
\]
\enmb
\item Calculer $U_1$ et $V_1$. \\
\item On pose, pour tout entier naturel $n$, $W_n = V_n-U_n$. \\
Montrer que la suite $(W_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. \\
Donner alors l'expression explicite de $W_n$ en fonction de $n$. \\
\item On pose, pour tout entier naturel $n$, $T_n = 3U_n+10V_n$. \\
Montrer que la suite $(T_n)$ est constante. \\
\item Exprimer alors, explicitement en fonction de $n$, les termes $U_n$ et $V_n$. \\
\item Déterminer $S_n = V_0+V_1+\hdots+V_n$ en fonction de $n$.
\fenmb
Exercice 2
On considère la suite $(U_n)$ définie par $U_0 = 3$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $U_{n+1} = \Frac{1-U_n}{1+U_n}$. \\
\enmb
\item Déterminer à la calculatrice les premiers termes de cette suite et formuler une conjecture. \\
\item Démontrer votre conjecture. \\
\item En déduire le terme général de $(U_n)$. \\
\item Combien vaut $U_{423}$ ?
\fenmb