2 exercices corrigés sur Exercices de synthèse, chapitre Limites de suites, niveau Terminale Spé. Entraînement en mathématiques sur Maths Manager.
Exercice 1
Soit $\un$ définie sur $\N$ par $u_0 = 1$ et \[ \unp = u_n + \Frac{1}{2^n} + 2 \] \\
\enmb \item Montrer que $\forall n \in \N$, $u_n \geqslant 2n+1$.\\
En déduire la limite de la suite $\un$. \\
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = \unp - u_n$. \\
En calculant, pour tout entier $n \geqslant 1$, la somme $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} v_k$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.\\
En déduire à nouveau la limite de la suite $\un$.
\fenmb
Exercice 2
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_{n+1} = \dfrac{3}{5}u_n + 2$.
\enmb
\item Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$.
\item Soit $a$ un réel. On définit la suite $(v_n)$ par $v_n = u_n + a$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Déterminer la valeur de $a$ pour que $(v_n)$ soit géométrique. Donner alors ses éléments caractéristiques.
\item Dans la suite de l'exercice, on pose $v_n = u_n - 5$. Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
\item Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$ et $T_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_n$. Quelle est l'expression de $T_n$ en fonction de $n$ ?
\item Déterminer la limite de la suite $(T_n)$.
\item Déterminer l'expression de $S_n$ en fonction de $n$ et la limite de la suite $(S_n)$.
\fenmb