1 exercice corrigé de Exercices - Monotonie et convergence en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.
Exercice 1
On considère la suite $\un$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$ :
\[
u_{n+1}=\Frac{5u_n+4}{u_n+2}.
\]
On admet que la fonction $f$ définie sur $\Rp$ par $f(x)=\Frac{5x+4}{x+2}$ est strictement croissante sur $\Rp$.\\
\enmb
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 4$.\\
\item Justifier que la suite $\un$ converge.\\
\item On admet que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant 4-u_n\leqslant 3\times \parenthese{\frac{1}{2}}^n$.\\
En déduire la limite de la suite $\un$.
\fenmb