4 exercices corrigés sur Exercices - Python, chapitre Limites de suites, niveau Terminale Spé. Entraînement en mathématiques sur Maths Manager.
Exercice 1
Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 8$ et $u_{n+1} = \Frac{6u_n+2}{u_n+5}$.\\
On admet que $\un$ est décroissante et converge vers $2$.\\
On considère $A$ un nombre réel tel que $A > 2$.\\
Compléter le programme Python ci-dessous pour qu'il renvoie le rang $n$ de la suite à partir duquel $u_n$ devient strictement inférieur à $A$.\\
\[
\begin{array}{l}
\texttt{def seuil(A) :}\\
\quad \texttt{u=} \hdots\\
\quad \texttt{n=} \hdots\\
\quad \texttt{while} \hdots \texttt{:}\\
\quad \quad \texttt{u=} \hdots\\
\quad \quad \texttt{n=} \hdots\\
\quad \texttt{return} \hdots
\end{array}
\]
Exercice 2
Soit $\un$ définie par :
\[
u_n=-8\left(\Frac{1}{5}\right)^n+10\times 0,5^n.
\]
\enmb
\item Calculer $\limn u_n$.\\
\item Compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il affiche la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n \leqslant 0,01$.
\[
\begin{array}{l}
\texttt{def seuil() :}\\
\quad \texttt{u=2}\\
\quad \texttt{n=0}\\
\quad \texttt{while} \hdots \texttt{:}\\
\quad \quad \texttt{u=} \hdots\\
\quad \quad \texttt{n=} \hdots\\
\quad \texttt{return} \hdots
\end{array}
\]
\fenmb
Exercice 3
Un arboriculteur possède un verger pouvant contenir au maximum $500$ arbres.\\
Chaque année, il vend $10$% des arbres de son verger, puis replante $60$ nouveaux arbres.\\
En $2023$, le verger compte $400$ arbres.\\
On modélise le nombre d’arbres, en $2023+n$, par une suite $(u_n)$ définie par $u_0=400$ et, pour tout $n \in \N$ :
\[
u_{n+1}=0,9u_n+60.
\]
\enmb
\item Montrer par récurrence que, pour tout $n \in \N$, $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 600$.\\
\item En déduire que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.\\
\item L’arboriculteur va-t-il être confronté à un problème de place dans son verger ? Justifier.\\
\item Déterminer la valeur renvoyée par le programme suivant lorsqu’on appelle \texttt{mystere(500)}.
\[
\begin{array}{l}
\texttt{def mystere(seuil) :}\\
\quad \texttt{n=0}\\
\quad \texttt{u=400}\\
\quad \texttt{while u <= seuil :}\\
\quad \quad \texttt{n=n+1}\\
\quad \quad \texttt{u=0.9*u+60}\\
\quad \texttt{return n}
\end{array}
\]
\fenmb
Exercice 4
On considère la suite $\vn$ définie par :
\[
v_0 = -1 \quad \text{et} \quad \forall n \in \N, \quad v_{n+1} = -\Frac{1}{2}v_n^2
\]
On cherche à écrire une fonction Python qui renvoie le premier entier naturel $n$ tel que :
\[
-10^{-5} \leqslant v_n \leqslant 0
\]
Compléter le programme suivant :
\[
\begin{array}{l}
\texttt{def seuil() :}\\
\quad \texttt{v = -1}\\
\quad \texttt{n = 0}\\
\quad \texttt{while ... :}\\
\quad \quad \texttt{v = ...}\\
\quad \quad \texttt{n = ...}\\
\quad \texttt{return n}
\end{array}
\]