Approfondissement - Recherche de primitives

2 exercices corrigés de Approfondissement - Recherche de primitives en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.

Exercices

Exercice 1

Déterminer toutes les primitives de la fonction $f$ définie sur $\Rpe$ par $f(x) = \Frac{1}{x(x+1)(x+2)}$.

Exercice 2

Pour tout $n \in \N^*$, on définit la fonction $f_n$ sur $\R$ par $f_n(x)=\Sum_{p=1}^{n}(-1)^pp\,e^{px}$.\\ \enmb \item Montrer que la primitive $F_n$ de $f_n$ qui s'annule en $0$ est définie par $F_n(x)=\Frac{(-1)^ne^{(n+1)x}-e^x}{1+e^x}+\Frac{1-(-1)^n}{2}$.\\ \item En déduire que, pour tout $x \in \R$, $f_n(x)=\Frac{(-1)^nn\,e^{(n+2)x}+(-1)^n(n+1)e^{(n+1)x}-e^x}{(1+e^x)^2}$.\\ \item Soit $\un$ définie par $u_n=\Sum_{p=1}^{n}(-1)^p\Frac{p}{n^p}$.\\ \enmb \item En utilisant ce qui précède, montrer que $u_n=\Frac{(-1)^n\Frac{n+2}{n^{n+1}}-\Frac{1}{n}}{\left(1+\Frac{1}{n}\right)^2}$.\\ \item En déduire alors $\limn u_n$.\\ \fenmb \fenmb