Exercices - Modélisation par équations différentielles
4 exercices corrigés de Exercices - Modélisation par équations différentielles en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.
Exercices
Exercice 1
On considère un point $M$ mobile sur une droite graduée, d'abscisse $x(t)$. Le déplacement de ce point étant uniforme de vitesse constante $v_0$ m.$s^{-1}$, avec la condition initiale $x(0)=x_0$. \\
\enmb \item Ecrire l'équation différentielle vérifiée par $x$. \\
\item En déduire l'expression de $x(t)$ pour tout $t \geqslant 0$.
\fenmb
Exercice 2
On laisse tomber un corps de masse $m$, dans le champ de pesanteur. La vitesse $v$ du centre d'inertie de ce corps est fonction du temps $t$ de la chute, et satisfait à l'équation différentielle \[ m v'(t) = mg-kv \]
où $k > 0$ est le coefficient de freinage dû à la résistance de l'air et $g$ l'accélération de la pesanteur. \\
\enmb \item Résoudre cette équation différentielle. \\
\item On suppose qu'à l'instant $t = 0$, la vitesse est nulle. \\
Montrer que, pour tout $t \geqslant 0$, on a $v(t) = \Frac{mg}{k}\parenthese{1-e^{-\frac{k}{m}t}}$. \\
\item Quelle est la limite de $t \mapsto v(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ ? Interpréter ce résultat. \\
\item La résistance de l'air est négligée en faisant tendre $k$ vers $0$. Déterminer $t \mapsto v(t)$. Interpréter le résultat obtenu.
\fenmb
Exercice 3
Après avoir administré un médicament par injection intraveineuse de courte durée, la concentration plasmatique notée $c_0$ de ce dernier est maximale à l'instant $t=0$. Elle diminue ensuite en fonction du temps. On considère que sa vitesse d'élimination est proportionnelle à la quantité $c(t)$ du médicament encore présente dans l'organisme à l'instant $t$. \\
A chaque instant $t$, nous disposons de l'équation différentielle $c'(t) = -kc(t)$ avec $k>0$ est une constante d'élimination déterminée par la nature du médicament injecté. \\
\enmb \item Déterminer les solutions de cette équation différentielle.\\
\item En considérant la condition initiale, déterminer l'expression complète de $c(t)$. \\
\item \textit{La demi-vie $T$ de ce médicament désigne le temps nécessaire pour que la concentration de ce médicament dans le plasma sanguin soit diminuée de la moitié de sa valeur initiale}. \\
Déterminer l'expression de $T$ en fonction de $k$.
\fenmb
Exercice 4
\textit{La loi de refroidissement de Newton stipule que la vitesse de refroidissement de la température $T(t)$ (en degré Celsius) d'un objet à l'instant $t$ (en minute) est proportionnelle à la différence entre la température de l'objet et la température $T_a$ du milieu ambiant}. \\
Nous supposons que l'objet possède une température initiale $T(0)=T_0$. \\
Cette loi de Newton, qui décrit l'évolution de la température $T(t)$ satisfait donc à l'équation différentielle \[ T'(t) = k(T(t)-T_a) \]
avec la condition initiale $T(0)=T_0$. Le coefficient de proportionnalité $k \neq 0$ dépend essentiellement de la surface de contact entre l'objet et son milieu. \\
\enmb \item Déterminer les solutions de l'équation différentielle donnée. \\
\item En déduire l'expression de $T(t)$ en fonction de $T_0$, $T_a$, $k$ et $t$.
\fenmb