4 exercices corrigés de Exercices - Équations ramenées à une forme connue en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.
Exercice 1
On considère l'équation différentielle : $y' + y = e^{-x} \, (E)$. \\
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\item Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = xe^{-x}$ est solution de $(E)$. \\
\item Montrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f-g$ est solution de l'équation : $y'+y=0 \, (E_0)$. \\
\item Résoudre sur $\R$ $(E_0)$. \\
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $\R$.
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Exercice 2
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y'-2y=e^{2x}$. \\
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\item Démontrer que la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x) = xe^{2x}$ est une solution de $(E)$. \\
\item Résoudre l'équation différentielle $(E_0)$ : $y'-2y=0$. \\
\item En déduire toutes les solutions de l'équation $(E)$. \\
\item Déterminer la fonction, solution de $(E)$, qui prend la valeur 1 en 0. \fenmb
Exercice 3
En 1980, 10 000 ménages vivant en France étaient équipés d'un ordinateur. \\
On note $f(t)$ le nombre de ces ménages, en million, $t$ années après 1 980 $(t \geqslant 0)$. \\
On admet que $f$, sur $[0,40]$ est solution de l'équation \[ (E_1) \quad y'=0,022y(20-y) \]
\enmb \item \enmb \item On pose $u = \Frac{1}{f}$. \\
Montrer que $f$ est solution de $(E_1)$ si et seulement si $u$ est solution de $(E_2) \quad y'=-0,44y+0,022$. \\
\item Déterminer toutes les solutions de $(E_2)$. \\
\item En déduire toutes les solutions de $(E_1)$. \\
\item Montrer que $f$ est définie sur $[0,40]$ par $f(t) = \Frac{20}{1+1999e^{-0,44t}}$. \\
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\item D'après l'Insee, en 2014, la France comptait 28 765,9 milliers de ménages dont 78,8% étaient équipés d'un ordinateur. Expliquer pourquoi l'estimation faite par ce modèle est incorrecte.
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Exercice 4
$(E)$ est l'équation différentielle $y'-y=\cos{x}-3\sin{x}$.\\
\enmb \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $g(x) = a\cos{x}+b\sin{x}$ soit solution de $(E)$. \\
\item Montrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f-g$ est solution de $(E_0) \quad y'-y=0$. \\
\item Déterminer toutes les solutions de $(E_0)$. \\
\item En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$. \\
\item Déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f\parenthese{\Frac{\pi}{3}} = 0$.
\fenmb