3 exercices corrigés de Exercices - Études de fonctions logarithmiques en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.
Exercice 1
Soit $f$ définie sur $\Rpe$par $f(x) = \Frac{5\ln{x}}{\sqrt{x}}$. \\
\enmb\item Etudier les variations de $f$ sur $\Rpe$ et dresser le tableau de variations complet de $f$. \\
\item Montrer que l'équation $f(x)=-5$ admet une unique solution $\alpha$, et que $\alpha$ est également la solution de l'équation $e^{-\sqrt{x}}=x$. \\
\textit{On ne cherchera pas à calculer la valeur de $\alpha$}.
Exercice 2
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
\[
f(x)=\Frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}.
\]
On note $\Gamma$ sa courbe représentative.\\
\enmb
\item Étudier la parité, les limites, les asymptotes, les variations et le signe de $f$ sur $\R$.\\
\item Soit $\alpha\in]-1;1[$. Montrer que l'équation $f(x)=\alpha$ admet une unique solution $x_0$, puis exprimer $x_0$ en fonction de $\alpha$.\\
\item Déterminer une équation de la tangente à $\Gamma$ au point d'abscisse $0$.\\
\item Montrer que, pour tout réel $t$, $f'(t)=1-[f(t)]^2$, puis en déduire un encadrement de $f'(t)$.
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Exercice 3
On considère la fonction $f$ : $x \mapsto \Frac{(x+1)\ln(x+1)}{x}$.\\
\enmb\item Déterminer le domaine de définition de $f$, noté $\mathscr{D}_f$.\\
\item On admet que $f$ est dérivable sur $\mathscr{D}_f$.\\
\enmb \item Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathscr{D}_f$.\\
\item Etudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x \in \mathscr{D}_f$.\\ \textit{On pourra étudier une fonction auxiliaire $g$ : $x \mapsto x-\ln(x+1)$.} \\
\item En déduire le tableau de variations de $f$. \\
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