Exercices - Suites, convergence et seuils
7 exercices corrigés de Exercices - Suites, convergence et seuils en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.
Exercices
Exercice 1
Soit $f$ définie sur $]-1,+\infty[$ par \[ f(x) = 4\ln(x+1)-\Frac{x^2}{25} \]
\enmb \item Etablir que $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[2 ; 6,5]$ et que $f$ admet un unique point fixe sur cet intervalle. \\
\textit{On rappelle que $x$ est un point fixe de $f$ si $f(x)=x$}. \\
\item On considère la suite $\un$ définie par $u_0= 2$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = f(u_n)$. \\
\enmb \item Montrer que pour tout naturel $n$, $u_n \in [2 ; 6,5]$. \\
\item Montrer que $\un$ converge vers le point fixe de $f$.
\fenmb
Exercice 2
On considère $\un$ définie par $u_n = 2\times0,9^n-3$ et $\vn$ définie par $v_n = \ln(0,5u_n+1,5)$. \\
Montrer que $\vn$ est arithmétique de raison $\ln(0,9)$.
Exercice 3
Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = a>1$ et $u_{n+1} = u_n^2-2u_n+2$. \\
\textit{On admet que $u_n > 1$ pour tout $n \in \N$}. \\
On pose $v_n = \ln(u_n-1)$. \\
\enmb\item Montrer que $\vn$ est géométrique. \\
\item Montrer que $u_n = 1+e^{2^n\times\ln(a-1)}$. \\
\item Déterminer suivant les valeurs de $a$ la limite de $\un$.
Exercice 4
Soit $g$ définie sur $[0,1]$ par $g(x) = 2x-x^2$. \\
Soit $\un$ définie par $u_0 = \Frac{1}{2}$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = g(u_n)$. \\
On pose $v_n = \ln(1-u_n)$. \\
\enmb \item Montrer que $\vn$ est géométrique. \\
\item Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis calculer $\limn u_n$.
\fenmb
Exercice 5
Soit $\un$ définie par $u_0 = 8$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1} = u_n - \ln\parenthese{\Frac{u_n}{4}}$. \\
\enmb \item Etudier les variations de $f : x \mapsto x-\ln\parenthese{\Frac{x}{4}}$ sur $\Rpe$. \\
\item Montrer que $\forall n \in \N$, $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$. \\
\item Montrer que $\un$ converge vers une limite $\ell$ et déterminer sa limite.
\fenmb
Exercice 6
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\enmb \item Montrer que $\limn \Frac{\ln(n+2^{-n})}{2n} = 0$. \\
\item En déduire que $\limn \Frac{\ln(1+n2^n)}{2n} = \Frac{\ln{2}}{2}$.
\fenmb
Exercice 7
\enmb \item Montrer que, pour tout $n \geqslant 2$, l'équation $e^x-x=n$ admet une unique solution notée $x_n \in \Rpe$. \\
\item Montrer que pour tout $n\geqslant 2$, $x_n \geqslant \ln{n}$. \\
En déduire $\limn x_n$. \\
\item Montrer que pour tout $x \in \R$, $e^x \geqslant 2x$ puis en déduire que $x_n \leqslant n$.