Exercices - Inégalités et encadrements
9 exercices corrigés de Exercices - Inégalités et encadrements en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.
Exercices
Exercice 1
Soit $\un$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1} = \Frac{3u_n}{1+2u_n}$. \\
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.
Exercice 2
Soit $\un$ définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 3 - \Frac{10}{u_n+4}$.\\
Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $u_n \geqslant 1$.
Exercice 3
Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = -1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = -\Frac{1}{2}u_n^2$. \\
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $-1 \leqslant u_n \leqslant 0$.
Exercice 4
On considère la suite $(h_n)$ définie par $h_0=80$ et, pour tout $n \in \N$, par $h_{n+1}=0{,}75h_n+30$.\\
\enmb
\item Montrer que, pour tout $n \in \N$, $h_n < 120$.\\
\item En déduire le sens de variation de la suite $(h_n)$.
\fenmb
Exercice 5
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 \in ]0,1[$ et $u_{n+1} = u_n(2-u_n)$.\\
\enmb
\item Montrer que $f : x \mapsto x(2-x)$ est croissante sur $[0,1]$. \\
\item Montrer que $\forall n \in \N$, $0 < u_n < 1$.
\fenmb
Exercice 6
Soit $\un$ définie par $u_0 = 8$ et $u_{n+1} = \Frac{6u_n+2}{u_n+5}$ et $f : x \mapsto \Frac{6x+2}{x+5}$ définie sur $\Rp$. \\
\enmb \item Montrer que pour tout réel $x > 2$, $f(x) > 2$. \\
\item Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n > 2$. \\
\item Montrer que $\un$ est décroissante.
\fenmb
Exercice 7
Soit $a$ un réel strictement positif. \\
Démontrer l'inégalité de Bernoulli : $\ptn, \; (1+a)^n \geqslant 1+na$.
Exercice 8
Soit $a$ un nombre réel tel que $-1 < a < 0$. On considère la suite $u$ définie par $u_0 = a$ et pour tout entier naturel $n$ :
\[
u_{n+1} = u_n^2 + u_n
\]
\enmb
\item Étudier la monotonie de la suite $u$.
\item
\enmb
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = x^2 + x$. Étudier le sens de variation de $h$. En déduire que pour tout $x \in \; ]-1 \; ; \; 0[$, $h(x) \in \; ]-1 \; ; \; 0[$.
\item Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $-1 < u_n < 0$.
\fenmb
\fenmb
Exercice 9
\enmb \item Montrer par récurrence que pour tout $n \geqslant 2$, $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{\sqrt{k}} > \sqrt{n}$. \\
\item Montrer sans passer par un raisonnement par récurrence que pour tout $n \geqslant 1$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{\sqrt{k}} \geqslant \sqrt{n}$.
\fenmb