Exercices - Formules explicites
9 exercices corrigés de Exercices - Formules explicites en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.
Exercices
Exercice 1
Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 2u_n+1$. \\
Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2^{n+1}-1$.
Exercice 2
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \Frac{2}{3}u_n + \Frac{1}{3}n+1$.\\
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2\parenthese{\Frac{2}{3}}^{n}+n$.
Exercice 3
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1 = 2$ et pour tout entier $n \geqslant 1$, $u_{n+1} = 2 - \Frac{1}{u_n}$.\\
Montrer que pour tout $n$ non nul, $u_n = \Frac{n+1}{n}$.
Exercice 4
Soit $\un$ la suite définie par $u_0=1$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \Frac{(n+1)^2}{(n+2)^2}u_n$. \\
Conjecturer une expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$ puis démontrer cette conjecture.
Exercice 5
Soit $\un$ la suite définie par $u_1 = e^{-1}$ et pour tout entier $n \geqslant 1$, $u_{n+1} = e^{-1}\parenthese{1+\Frac{1}{n}}u_n$. \\
Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $u_n = \Frac{n}{e^n}$.
Exercice 6
Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \Frac{\alpha u_n}{u_n+\alpha}$ avec $\alpha \in \Rpe$.\\
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \Frac{\alpha}{\alpha+n}$.
Exercice 7
Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ vérifiant $\forall x \in \R$, $f(2x) = f(x)$.\\
Montrer que $\forall x \in \R$, $\forall n \in \N$, $f\parenthese{\Frac{x}{2^n}} = f(x)$.
Exercice 8
Soit $p \geqslant 0$. Soit $\un$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier $n \in \N$, $u_{n+1} = \sqrt{u_n^2 + p^2 }$. \\
Déterminer $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice 9
On considère la suite $\un$ définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = 1 - \Frac{1}{u_n}$.\\
Démontrer que la suite $(u_{3n})$ est constante.