1 exercice corrigé de Approfondissement - Sphères, lieux et résultats généraux en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.
Exercice 1
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O;\vect{i},\vect{j},\vect{k})$, on considère :\\
\itm
\item les points $A(1;1;1)$ et $B(3;2;0)$ ;\\
\item le plan $(P)$ passant par le point $B$ et admettant le vecteur $\vect{AB}$ pour vecteur normal ;\\
\item le plan $(Q)$ d'équation $x-y+2z+4=0$ ;\\
\item la sphère $(S)$ de centre $A$ et de rayon $AB$.
\fitm
\enmb
\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(P)$ est $2x+y-z-8=0$.\\
\item Déterminer une équation de la sphère $(S)$.\\
\item
\enmb
\item Calculer la distance du point $A$ au plan $(Q)$. En déduire que le plan $(Q)$ est tangent à la sphère $(S)$.\\
\item Le plan $(P)$ est-il tangent à la sphère $(S)$ ?
\fenmb
\item On admet que le projeté orthogonal de $A$ sur le plan $(Q)$, noté $C$, a pour coordonnées $(0;2;-1)$.\\
\enmb
\item Prouver que les plans $(P)$ et $(Q)$ sont sécants.\\
\item Soit $(D)$ la droite d'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$. Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(D)$ est :
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&t\\
y&=&12-5t\\
z&=&4-3t
\end{array}
\right.
,\quad t\in\R.
\]
\item Vérifier que le point $A$ n'appartient pas à la droite $(D)$.\\
\item On appelle $(R)$ le plan défini par le point $A$ et la droite $(D)$. L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?\\
"Tout point du plan $(R)$ est équidistant des points $B$ et $C$". Justifier.
\fenmb
\fenmb