3 exercices corrigés de Exercices - Projections, distances et volumes en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.
Exercice 1
Soient $A(0;4;1)$, $B(1;3;0)$, $C(2;-1;-2)$ et $D(7;-1;4)$. \\
Soit $\Delta$ la droite passant par $D$ de vecteur directeur $\vect{u}(2;-1;3)$. \\
\enmb \item Montrer que $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$. \\
\item Donner une équation cartésienne du plan $(ABC)$. \\
\item Déterminer une représentation paramétrique de $\Delta$. \\
\item Déterminer les coordonnées de $H$, point d'intersection de $\Delta$ et du plan $(ABC)$. \\
Interpréter le point $H$.
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Exercice 2
On considère le point $A(-1;1;3)$, la droite $d$ de vecteur directeur $\vect{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ et le point $B(-1;3;0)$.\\
On admet que $A$ n'appartient pas à $d$ et que $B$ appartient à $d$. \\
On appelle $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur $d$. \\
\enmb \item Justifier qu'il existe un réel $k$ tel que $\vect{HB} = k \vect{u}$. \\
\item Montrer que $k = \Frac{\scal{AB}{u}}{\norm{\vect{u}}^2}$. \\
\item Calculer la valeur du nombre réel $k$ et déterminer les coordonnées du point $H$.
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Exercice 3
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\left( O, \vect{i}, \vect{j}, \vect{k} \right)$, on considère les points : \\
$$
A(3 ; -2 ; 1) \quad B(5 ; 2 ; -3) \quad C(6 ; -2 ; -2) \quad D(4 ; 3 ; 2)
$$
\enmb
\item Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés, puis que le triangle $ABC$ est isocèle et rectangle. \\
\item \enmb
\item Montrer que le vecteur $\vect{n} (2 ; 1 ; 2)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$. \\
\item En déduire une équation du plan $(ABC)$. \\
\item Montrer que la distance du point $D$ au plan $(ABC)$ est égale à $3$. \\
\fenmb
\item Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$ en unités de volume.
\fenmb