Congruences
16 exercices corrigés sur Congruences, chapitre Divisibilité et congruences, niveau Maths Expertes. Entraînement en mathématiques sur Maths Manager.
Exercices
Exercice 1
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\enmb \item Vérifier que $10^{6} \equiv 1 \modulo{7}$. \\
\item \enmb \item Montrer que pour tout entier $k \geqslant 1$, $4^{k-1} \equiv 1 \modulo{3}$. \\
\item En déduire que, pour tout $k \in \N^*$, $4^k \equiv 4 \modulo{6}$. \\
\item Conclure que, pour tout $k \in \N^*$, $10^k \equiv 4 \modulo{6}$. \\
\fenmb
\item Déduire des questions précédentes que $7$ divise $\Sum_{k=1}^{2016} 10^{(10^k)}$.
\fenmb
Exercice 2
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\enmb\item En remarquant que $999=27\times37$, montrer que pour tout entier positif $n$, $10^{3n} \equiv 1 \modulo{37}$. \\
\item En déduire le reste de la division par $37$ du nombre $10^{10}+10^{20}+10^{30}$.
\fenmb
Exercice 3
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\enmb \item Déterminer les restes de la divison de $5^n$ par $13$ pour $n \in \N$. \\
\item Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $31^{4n+1}+18^{4n-1}$est divisible par $13$.
Exercice 4
\enmb
\item Déterminer le reste de la division euclidienne de $100$ par $11$, de $1000$ par $11$, de $10000$ par $11$, de $100000$ par $11$.\\
Quelle conjecture peut-on alors faire ?\\
\item Démontrer la conjecture.
\fenmb
Exercice 5
Soient $a$ et $b$ deux nombres relatifs, tous les deux non divisibles par $3$.\\
Montrer que $a^6 - b^6$ est divisible par $3$.
Exercice 6
Quel est le reste de la division euclidienne de $3^{245}$ par $7$ ?
Exercice 7
\enmb
\item On considère un nombre à deux chiffres. On note $d$ le chiffre des dizaines et $u$ celui des unités.\\
Montrer qu'il est divisible par $7$ si et seulement si $3d + u$ est divisible par $7$.\\
\item Comment appliqueriez-vous ce critère pour vérifier que $392$ est bien divisible par $7$ ?\\
\item Le nombre $6119$ est-il divisible par $7$ ?
\fenmb
Exercice 8
Calculer le reste de la division euclidienne de $175^{48}$ par $7$.
Exercice 9
Trouver tous les entiers naturels $n$ tels que le reste de la division euclidienne de $2^{4n}$ par $7$ soit égal à $3$.
Exercice 10
\enmb
\item Soit $a$ un entier naturel.\\
Montrer que $a^5 - a$ est divisible par $10$.\\
\item Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels tels que $a > b$.\\
Démontrer que si $a^5 - b^5$ est divisible par $10$, alors $a^2 - b^2$ est divisible par $20$.
\fenmb
Exercice 11
Montrer que si $7$ divise $a^2 + b^2$, alors $7$ divise $a$ et $b$.\\
La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 12
Résoudre dans $\Z$ l'équation :
\[
x^2 \equiv -11 \mod 100.
\]
Exercice 13
Soit $n$ tel que $n \equiv 1 \mod 2$, $n \equiv 2 \mod 3$ et $n \equiv 5 \mod 7$.\\
Quel est le reste de la division euclidienne de $n$ par $42$ ?
Exercice 14
On suppose qu'un ensemble $E_n=\{1,2,\ldots,n\}$ possède un système de Steiner, c'est-à-dire un ensemble de triplets tel que chaque paire de $E_n$ appartienne à un unique triplet.\\
Montrer que si $p$ est un diviseur premier de $n$, alors
\[
p \equiv 1 \modulo{6}
\quad \text{ou} \quad
p \equiv 3 \modulo{6}
\quad \text{ou} \quad
p \equiv -1 \modulo{6}.
\]
Exercice 15
Soit $n$ un entier naturel non nul.\\
Déterminer les restes possibles modulo $6$ d'un nombre premier impair.
Exercice 16
Pour un entier $x$, l'implication $2x\equiv4\pmod{12}\Longrightarrow x\equiv2\pmod{12}$ est-elle vraie ? Justifier.