Divisibilité
15 exercices corrigés sur Divisibilité, chapitre Divisibilité et congruences, niveau Maths Expertes. Entraînement en mathématiques sur Maths Manager.
Exercices
Exercice 1
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $(n + 1)(n + 2)\cdots(2n - 1) \times 2n$ est divisible par $2^n$ et trouver le quotient correspondant.
Exercice 2
Soit $a\in\Z$. On considère la suite $\un$ définie par : pour tout $n \in \N$, $u_n = (a+1)^n-an-1$. \\
\enmb \item Calculer pour $n \in \N$, $u_{n+1}-(a+1)u_n$. \\
\item Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $a^2$ divise $u_n$.
\fenmb
Exercice 3
Soit $n \geqslant 2$, on considère le nombre $N = n^4-1$. \\
Montrer que $n-1$, $n+1$, $n^2+1$ figurent parmi les diviseurs de $N$.
Exercice 4
\\
\enmb \item Montrer que pour tout relatif $n$, $n(n^2-1)$ est divisible par $2$ et $3$. \\
\item Ce nombre est-il divisible par $6$ ?
Exercice 5
\enmb \item Démontrer que si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair.\\
\item En déduire que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.
\fenmb
Exercice 6
Soient $p$ et $n$ deux entiers naturels non nuls. \\
Montrer que l'entier $(p+1)^n-np-1$ est divisible par $p$.
Exercice 7
Déterminer les entiers relatifs $n$ tel que $n+3$ divise $n+10$.
Exercice 8
Démontrer que $\sqrt{2} \notin \Q$ \\
\textit{On démontrera au préalable, par un raisonnement par contraposée, que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair}.
Exercice 9
On souhaite déterminer les entiers naturels $a$ et $b$ tels que $a+b=ab$. \\
\enmb \item On se fixe une solution $(a,b)$. Montrer que $a-1$ divise $a$. \\
\item Montrer que $a=0$ ou $a=2$. \\
\item Conclure.
\fenmb
Exercice 10
Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls et $x$ un entier relatif. \\
\enmb\item Montrer que $p$ divise $x^2-x$ si et seulement si $\forall n \in \N^*$, $p$ divise $x^n-x$. \\
\item En déduire l'ensemble des entiers relatifs $x$ tels que, pour tout $n \in \N^*$, l'entier $x^n-x$ est pair.
\fenmb
Exercice 11
Trouver les valeurs de $n >4$ entier naturel pour lequel la fraction $\Frac{n+17}{n-4}$ soit un entier.
Exercice 12
Démontrer que pour tout entier relatif $p$, $p(p^2 - 1)$ est divisible par $2$ et par $3$.
Exercice 13
On pose $A_n = 2n^2 + 11n + 32$ et $B_n = n + 3$ pour tout entier relatif $n$.\\
On se demande pour quelles valeurs de $n$, $B_n$ divise $A_n$.\\
\enmb
\item Montrer que $A_n = (n + 3)(2n + 5) + 17$.\\
\item Conclure.
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Exercice 14
On souhaite démontrer que $5^n + 19$ est toujours divisible par $4$ pour tout entier naturel $n$.\\
\enmb
\item Exprimer de façon plus simple la somme $1 + 5 + 5^2 + \cdots + 5^{n-1}$ en fonction de $n$.\\
\item Conclure.
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Exercice 15
Soit $n\in\N$.
\enmb
\item Montrer que $n+1$ divise $n^2+5n+4$ et $n^2+3n+2$.
\item Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $n+1$ divise $3n^2+15n+19$.
\item En déduire que $n^2+3n+2$ ne divise jamais $3n^2+15n+19$.
\fenmb