Exercices divers

5 exercices corrigés sur Exercices divers, chapitre Divisibilité et congruences, niveau Maths Expertes. Entraînement en mathématiques sur Maths Manager.

Exercices

Exercice 1

Montrer que pour tout entier naturel $n$, $(n + 1)(n + 2)\cdots(2n - 1) \times 2n$ est divisible par $2^n$ et trouver le quotient correspondant.

Exercice 2

Montrer que pour tout $n \in \N$, $14$ divise $3^{4n+2}+5^{2n+1}$.

Exercice 3

Soient les ensemble $\mathscr{E} = \{4p+1, \; p \in \Z\}$ et $\mathscr{F} = \{x \in \R, \; \Frac{(x-1)(x+3)}{32} \in \Z \}$. \\ \enmb \item Montrer que $\mathscr{E} \subset \mathscr{F}$. \\ \item Montrer que $\mathscr{F} \not\subset \mathscr{E}$. \\ \textit{On pourra résoudre l'équation} $\Frac{(x-1)(x+3)}{32} = 2$ \textit{puis montrer que la solution positive n'est pas entière, puis que cette solution n'appartient pas à} $\mathscr{E}$.

Exercice 4

Montrer que $\Frac{\ln{3}}{\ln{2}}$ est un nombre irrationnel.

Exercice 5

Le polynôme $R$ est défini par $R(z)=z^8+3z^7+2z^5+3z^3+2z^2+6$. Admet-il des racines entières ?