3 exercices corrigés de Exercices - Tangentes et paramètres en Première Spé. Entraînement Maths Manager.
Exercice 1
$a$ et $b$ désignent deux nombres réels. \\
$f$ et $g$ sont les fonctions définies sur $\R$ par $f(t) = e^{at}$ et $g(t) = e^{bt}$. \\
$\Cf$ et $\Cg$ sont les courbes représentatives de ces deux fonctions dans un repère. \\
Etudier la position relative des courbes $\Cf$ et $\Cg$ suivant les valeurs de $a$ et $b$.
Exercice 2
\enmb \item Soit $x_0$ un réel quelconque. \\
On désigne par $\mathscr{C}$ la représentation graphique de la fonction $\exp$ et par $M_0$ un point quelconque de cette courbe d'abscisse $x_0$. \\
Montrer que la tangente à $\mathscr{C}$ au point $M_0$ coupe la droite des abscisses en un point $M_1$ d'abscisse $x_1 = x_0-1$.
\item Réciproquement, on considère une fonction $f$ dérivable et croissante strictement sur $\R$. \\
On suppose que la tangente au point $M_0$ d'abscisse $x_0$ à la courbe $\Cf$ coupe la droite des abscisses en un point $M_1$ d'abscisse $x_1 = x_0 - 1$. \\
Montrer que $f' = f$. \\
Si de plus, $f(0) = 1$, conclure.
\fenmb
Exercice 3
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \Frac{e^x}{e^x+1}$. \\
On désigne par $\Cf$ la représentation graphique de $f$ relativement à un repère orthonormal du plan. \\
On rappelle qu'un point $\Omega(a,b)$ est un centre de symétrie de la courbe $\Cf$ si et seulement si \[ \forall x \in \R^*, a-x \in \mathscr{D}_f \text{ et } a+x \in \mathscr{D}_f \] \[ \forall x \in \R^*, \: f(a-x) + f(a+x) = 2b \]
\enmb \item Montrer que le point $A\parenthese{0,\Frac{1}{2}}$ est un centre de symétrie pour la courbe $\Cf$.
\item Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $\Cf$ au point $A$. \\
Etudier la position de $\Cf$ par rapport à la droite $(T)$.
\fenmb