Approfondissement - Équations, limites et propriétés

3 exercices corrigés de Approfondissement - Équations, limites et propriétés en Première Spé. Entraînement Maths Manager.

Exercices

Exercice 1

Soit $c$ et $s$ deux fonctions définies sur $\R$ par \[ c(x) = \Frac{e^x+e^{-x}}{2} \quad \text{ et } \quad s(x) = \Frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \] \enmb \item Quelle est la parité de chacune de ces deux fonctions ? \item Pour tout réel $x$, calculer $(c(x))^2-(s(x))^2$. \item Justifier que, pour tout réel $x$, \[ c(2x)=(c(x))^2+(s(x))^2 \quad \text{ et } \quad s(2x) = 2c(x)s(x) \] \fenmb

Exercice 2

Soit $f : x \longmapsto \dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x - x}$. \enmb \item Montrer que $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$. \item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. Donner les asymptotes éventuelles. \item Étudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variation. \fenmb

Exercice 3

Soit $n \in \N^*$. Calculer le maximum de la fonction $f_n$ définie sur $\R^+$ par \[ \forall x \in \R^+, \quad f_n(x) = x^ne^{-x} \]