Exercices divers
5 exercices corrigés sur Exercices divers, chapitre Calculs algébriques, niveau MPSI/PCSI. Entraînement en mathématiques sur Maths Manager.
Exercices
Exercice 1
Soit $n \in \N^*$. Soient $x_1, \hdots, x_n \in \R$ tels que $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_k = n$ et $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_k^2 = n$. \\
Montrer que pour tout $1 \leqslant k \leqslant n$, $x_k =1$.
Exercice 2
Montrer que pour tout $n \in \N$, $a_n = (1+\sqrt{2})^n + (1-\sqrt{2})^n$ est un entier.
Exercice 3
Soient $(a_1,\hdots,a_n) \in \R^n$ et $(b_1,\hdots,b_n) \in \R^n$. En considérant la fonction $f : x \mapsto \Sum_{k=1}^{n} (a_k x + b_k)^2$, démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz \[ \parenthese{\Sum_{k=1}^{n}a_kb_k}^2 \leqslant \parenthese{\Sum_{k=1}^{n}a_k^2} \parenthese{\Sum_{k=1}^{n}b_k^2} \]
Exercice 4
Soient $n \in \N$ et $a_0, \hdots, a_n, b_0, \hdots, b_n$ des réels vérifiants \[ \forall p\in \llbracket 0,n \rrbracket, \quad b_p = \Sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} a_k \]
Montrer la formule d'inversion de Pascal : \[ \forall p \in \llbracket 0,n \rrbracket, \quad a_p = \Sum_{k=0}^{p}(-1)^{p-k}\binom{p}{k} b_k \]
Exercice 5
Soit $n \in \N^*$. \\
On considère la suite finie $(u_k)$ pour tout $k \in \llbracket 0, 2n \rrbracket$ définie par \[ u_k = \binom{2n}{k} \]
\enmb \item En étudiant les variations de $(u_k)$, déterminer le rang de la valeur maximale de cette suite.
\item En utilisant une somme, montrer l'inégalité $\Frac{2^{2n}}{2n+1} \leqslant \displaystyle \binom{2n}{n}$.