Exercices divers

3 exercices corrigés sur Exercices divers, chapitre Raisonnements, niveau MPSI/PCSI. Entraînement en mathématiques sur Maths Manager.

En prépa MPSI et PCSI, travaille les implications, les réciproques et les raisonnements sur des nombres réels. Cherche une preuve ou un contre-exemple selon la question, puis consulte la solution détaillée.

Exercices

Exercice 1

Soient $a,b \in \R$. Montrer que $(\forall n \in \N,\; a2^{n}+b3^n=a) \iff a=b=0$.

Exercice 2

\\ \enmb \item Montrer que pour tout $a,b,c,d \in \R$ : $(a\leqslant b \;\; et \;\; c\leqslant d) \implies a+c \leqslant b+d$. \\ \item L'implication réciproque est-elle également valable pour tous réels $a$, $b$, $c$, $d$? \\ \item Que penser de l'affirmation suivante : $\forall a,b,c,d \in \R$, $\parenthese{a+c \leqslant b+d \implies (a \leqslant b \;\; ou \;\; c \leqslant d)}$. \fenmb

Exercice 3

Soient $x$ et $y$ deux réels positifs tels que $y \leqslant x^2$. Montrer que \[ \sqrt{x+\sqrt{y}} = \sqrt{\Frac{x+\sqrt{x^2-y}}{2}}+\sqrt{\Frac{x-\sqrt{x^2-y}}{2}} \]