Exercices

4 exercices corrigés de Exercices - Modélisation et probabilités composées en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.

Exercice 1

Une classe compte $30$ élèves dont $20$ filles. A chaque cours de maths, le prof interroge au hasard un élève de la classe, sans se rappeler quels élèves il a déjà interrogés. On considère un entier positif ou nul $n$ et on note $X$ la variable aléatoire qui correspond au nombre de filles interrogées au cours de $n$ jours consécutifs. \enmb \item Quelle est la loi de $X$ ? \item \enmb \item Donner la probabilité que sur $10$ jours consécutifs, soient interrogées $4$ filles exactement. \item même question pour au moins $4$ filles. \fenmb \item Déterminer en fonction du nombre $n$ de cours, la probabilité qu'aucune fille ne soit interrogée. Cette probabilité augmente-t-elle avec le nombre de cours ? ou diminue-t-elle ? \item Quel doit être le nombre minimal de cours consécutifs pour que la probabilité qu'aucune fille ne soit interrogée soit inférieure à $0,001$ ? \fenmb

Exercice 2

On considère l'expérience suivante : on lance $10$ fois indépendamment un dé bien équilibré dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$. \\ On appelle $X$ la variable aléatoire qui prend la valeur correspondant au nombre de fois où la face $1$ apparaît. \\ \enmb \item Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \\ \item Quelle est la probabilité de l'événement $X=1$ ?\\ \item Quelle est la probabilité que la face $1$ apparaisse au moins une fois ? \\ \item On lance le même dé $n$ fois indépendamment et on s'intéresse encore à la même variable $X$. \\ \enmb \item $X$ suit-elle toujours une loi binomiale ? Si oui, préciser les paramètres. \\ \item Donner, en fonction de $n$, la probabilité de l'événement $X=0$. \\ \item Quelle est la probabilité, en fonction de $n$, que la face $1$ apparaisse au moins une fois ? \\ \item Soit $s\in]0,1[$. Déterminer, en fonction de $s$, le plus petit entier $n$ tel que $\mathbb{P}(X\geqslant1)\geqslant s$. \\ \item Donner la valeur minimale de $n$ pour laquelle la probabilité que la face $1$ apparaisse au moins une fois soit supérieure à $0,999$. \fenmb \fenmb

Exercice 3

Une usine produit des pots de confiture dont la masse doit être de $500$ grammes. \\ Le service de qualité de l'entreprise vérifie régulièrement quelques pots et sait que le matériel utilisé permet d'affirmer qu'un pot sur cinq a une masse inférieure à $490$ grammes. \\ \\ On prélève dans la production $20$ pots et on juge que la production est assez importante pour se permettre d'assimiler cette expérience à un tirage avec remise. \\ La variable aléatoire $X$ compte le nombre de pots jugés "défectueux" dans cet échantillon. \\ \enmb \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres. \\ \item Calculer la probabilité que l'on obtienne entre $1$ et $3$ pots défectueux. \\ \item Combien de pots faudrait-il prélever pour que la probabilité qu'il y ait au moins un pot défectueux soit d'au moins $99$% ?

Exercice 4

Une urne contient des boules indiscernables au toucher. \\ $20\%$ des boules portent le numéro 1 et sont rouges. \\ Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, $10\%$ sont rouges et les autres sont vertes. \\ \enmb \item On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle soit rouge ? \\ \item On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge. \\ Montrer que la probabilité qu’elle porte le numéro $2$ est égale à $\Frac{2}{7}$. \\ \item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. \\ On effectue $n$ tirages successifs d’une boule avec remise (après chaque tirage, la boule est remise dans l’urne). \\ \enmb \item Exprimer en fonction de $n$ la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge portant le numéro $1$ au cours des $n$ tirages. \\ \item Déterminer l’entier $n$ à partir duquel la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge portant le numéro $1$ au cours des $n$ tirages est supérieure ou égale à $0,99$. \fenmb \fenmb