Exercices - Reconnaître et utiliser la loi binomiale
5 exercices corrigés de Exercices - Reconnaître et utiliser la loi binomiale en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.
Exercices
Exercice 1
Dans une région pétrolifère, la probabilité qu'un forage conduise à une nappe de pétrole est $0,1$. \\
On effectue $9$ forages dont les résultats en terme de possibilité de forage sont indépendants les uns des autres. \\
On note $X$ le nombre de forages qui conduisent à une nappe de pétrole. \enmb \item Quelle est la loi suivie par $X$ ? Justifier. \\
\item Calculer la probabilité qu'au moins un forage sur les $9$ conduise à une nappe de pétrole. \\
\textit{On arrondiera à} $10^{-3}$.\fenmb
Exercice 2
Afin de créer une loterie, on place dans une urne $n$ boules différentes $(n \geqslant 3)$ dont deux, et seulement deux sont gagnantes. On tire au hasard et successivement trois boules de l'urne et remettant chaque boule tirée avant de tirer la suivante. \\ \\
\enmb \item On suppose que $n=10$. $Y$ désigne la variable aléatoire donnant le nombre de boules gagnantes parmi les trois choisies. Déterminer la loi de $Y$. \\ \\
\item On revient au cas général, calculer la probabilité $q_n$ d'avoir exactement une boule gagnante parmi les trois.
\fenmb
Exercice 3
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs. \\
$80$ personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose les passages indépendants et que pour chaque personne, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,02192$. \\
Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les $80$ personnes de ce groupe. \\
\enmb \item Justifier que $X$ suit une loi Binomiale et préciser les paramètres.
\item Calculer l'espérance de $X$, notée $\mathbb{E}[X]$ et interpréter le résultat.
\item Donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ de :
\itm \item la probabilité qu'au moins une personne du groupe fasse sonner le portique.
\item la probabilité qu'au maximum $5$ personnes fassent sonner le portique.
\fitm
\item Donner la valeur du plus petit entier $n$ tel que $\mathbb{P}(X \leqslant n) \geqslant 0,9$.
\fenmb
Exercice 4
Un constructeur chinois produit des batteries d'iPhone. \\
La probabilité qu'une batterie soit défectueuse est égale à $5 \times 10^{-3}$. \\
Dans un lot de $200$ batteries, quelle est la probabilité d'avoir : \\
\enmb \item Exactement deux batteries défectueuses ? \\
\item Au plus deux batteries défectueuses ? \\
\item Au moins deux batteries défectueuses ?
\fenmb
Exercice 5
Alain achète des composants d'ordinateur dont certains présentent un défaut. On estime que la probabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à $0,02$.\\
On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment important pour que l’achat de $50$ composants soit assimilé à $50$ tirages indépendants avec remise, et on appelle $X$ le nombre de composants défectueux achetés. Alain achète $50$ composants.\\
\enmb \item Quelle est la probabilité qu’exactement deux des composants achetés soient défectueux? Donner une valeur approchée de cette probabilité à $10^{-1}$ près.\\
\item Quelle est la probabilité qu’au moins un des composants achetés soit défectueux? Donner une valeur approchée de cette probabilité à $10^{-2}$ près.\\
\item Quel est, par lot de $50$ composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux?
\fenmb