1 exercice corrigé de Approfondissement - Suites, sommes et asymptotique en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.
Exercice 1
Soit $u$ la suite définie sur $\N^*$ par $u_n = \Frac{1}{n}\left[\sum_{k=1}^{n}\ln(n+k)\right]-\ln{n}$.\\
\enmb\item Montrer que $u_n = \Frac{1}{n}\left[\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\ln\parenthese{1+\Frac{k}{n}}\right]$. \\
\item \enmb \item Pour $k \in \llbracket 0,n-1\rrbracket$ montrer que $\Frac{1}{n}\ln\parenthese{1+\Frac{k}{n}} \leqslant \integrale{1+\frac{k}{n}}{1+\frac{k+1}{n}}{\ln{x}}{x} \leqslant \Frac{1}{n}\ln\parenthese{1+\Frac{k+1}{n}}$.\\
\item En déduire que $u_n - \Frac{1}{n}\ln{2} \leqslant \integrale{1}{2}{\ln{x}}{x} \leqslant u_n$. \\
\fenmb
\item En déduire un encadrement de $u_n$ et $\limn u_n$.
\fenmb