Exercices - Suites d’intégrales
6 exercices corrigés sur Exercices - Suites d’intégrales, chapitre Intégrales, niveau Terminale Spé. Entraînement en mathématiques sur Maths Manager.
Exercices
Exercice 1
On considère pour tout $n \geqslant 1$, l'intégrale $I_n = \integrale{0}{\pi}{e^{-nx}\sin(x)}{x}$.\\
On admet que $I_n \geqslant 0$ pour tout $n \in \N^*$. \\
\enmb \item Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $I_n \leqslant \integrale{0}{\pi}{e^{-nx}}{x}$. \\
\item Montrer que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $\integrale{0}{\pi}{e^{-nx}}{x} = \Frac{1-e^{-n\pi}}{n}$. \\
\item En déduire la limite de la suite $(I_n)$.
\fenmb
Exercice 2
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Soit $(u_n)$ définie sur $\N$ par $u_n = \integrale{n}{n+1}{e^{-2x}}{x}$. \\
Montrer que $\un$ est géométrique, puis calculer $\limn u_n$.
Exercice 3
On considère $(u_n)$ la suite définie pour tout $n \in \N$ par $u_n = \integrale{0}{1}{\Frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}}{x}$.\\
\enmb \item Montrer que $u_0+u_1=1$ puis, en calculant $u_1$, en déduire $u_0$.\\
\item Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n \geqslant 0$.\\
\item Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $u_{n+1}+u_n = \Frac{1-e^{-n}}{n}$ puis en déduire $u_n \leqslant \Frac{1-e^{-n}}{n}$.\\
\item En déduire $\limn u_n$.
\fenmb
Exercice 4
Soit $(I_n)$ la suite définie par $I_n = \integrale{0}{1}{\Frac{e^{-t^2}}{1+n+t}}{t}$.\\
\enmb \item Déterminer le sens de variation de cette suite. \\
\item Montrer que $(I_n)$ est une suite positive. \\
\item Montrer que pour tout $t \in [0,1]$, on a $\Frac{e^{-t^2}}{1+t+n} \leqslant \Frac{1}{1+n}$ puis en déduire que $0 \leqslant I_n \leqslant \Frac{1}{n+1}$. \\
Que peut-on en déduire quant à la convergence de $(I_n)$ ?
\fenmb
Exercice 5
On considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier $n \in \N$ par $I_n = \integrale{-2}{0}{x^ne^{-x}}{x}$. \\
\enmb \item Calculer la valeur exacte de $I_0$. \\
\item Montrer que pour tout $n \in \N$, $I_{n+1} = (-2)^{n+1}e^2+(n+1)I_n$. \\
\item En déduire les valeurs exactes de $I_1$ et $I_2$.
Exercice 6
Soit $(I_n)$ la suite définie sur $\N$ par $I_n = \integrale{0}{1}{\Frac{1}{1+t+t^n}}{t}$. \\
\enmb \item Montrer que la suite $(I_n)$ est croissante. \\
\item Montrer que $\forall n \in \N$, $I_n \leqslant \ln{2}$. \\
\item La suite est-elle convergente ? \\
\item Montrer que pour tout $n \in \N$, $\ln{2}-I_n \leqslant \Frac{1}{n+1}$. \\
\item En déduire la limite de $(I_n)$.
\fenmb