Exercices - Aires et applications géométriques
6 exercices corrigés de Exercices - Aires et applications géométriques en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.
Exercices
Exercice 1
Soit le réel $a > 0$. \\
On note $\Cc$ la courbe représentative de $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = e^{1-x}$.\\
\itm \item Soit $A$ le point de coordonnées $(a;0)$ et $B$ le point d'abscisse $a$ de $\Cc$. \\
\item On note $\mathscr{A}_1$ l'aire du domaine délimité par la courbe $\Cc$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=a$. \\
\item La tangente à $\Cc$ en $B$ coupe l'axe des abscisses en $C$ et on note $\mathscr{A}_2$ l'aire du triangle $ABC$. \\
\fitm
Montrer que $\mathscr{A}_1+2\mathscr{A}_2$ est indépendant de $a$.
Exercice 2
Soit la fonction $f : x \mapsto \sin(2x)$. \\
Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan limitée par la droite des abscisses et la courbe $\Cf$ lorsque $x \in [-\ps{2},\ps{2}]$.
Exercice 3
Soit $f$ définie sur $]0,1[\cup]1,+\infty[$ par $f(x) = \Frac{10(x-8)}{x(x-1)}$.\\
\enmb \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x \in ]1,+\infty[$, on ait $f(x) = \Frac{a}{x}+\Frac{b}{x-1}$. \\
\item Soit $\lambda$ un nombre réel strictement supérieur à $8$. \\
Calculer l'aire $\mathscr{A}(\lambda)$ du domaine limité par la courbe $\Cf$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=8$ et $x=\lambda$. \\
\item Calculer la limite de $\mathscr{A}(\lambda)$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty$.
\fenmb
Exercice 4
Soit un réel $a > 0$, on considère la fonction $f$ définie sur $\Rpe$ par $f(x) = a\ln{x}$.\\
Soit un réel $x_0 > 1$. \\
\enmb \item Montrer que $F(x) = a[x\ln{x}-x]$ est une primitive de $f$ sur $\Rpe$. \\
\item Exprimer l'aire du domaine délimité par $\Cf$, l'axe des abscisses et les droites $x=1$ et $x=x_0$ en fonction de $a$ et $x_0$.
\fenmb
Exercice 5
Soit les fonctions $f(x) = \Frac{1}{x-1}$ et $g(x) = \Frac{1}{x+1}$. \\
On note $\mathscr{A}_n$ l'aire du domaine délimité par les courbes $\Cf$, $\Cg$ et les droites d'équation respectives $x=2$ et $x=n$. \\
Quelle est la limite de $\mathscr{A}_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?
Exercice 6
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \Frac{\sin{x}}{\cos{x}+\sin{x}}$. \\
\enmb \item Etudier son domaine de définition. Montrer qu'elle est périodique de période $\pi$ et étudier ses variations dans l'intervalle $\into{-\ps{4}}{\Frac{3\pi}{4}}$. \\
\item Tracer la courbe de $f$ dans un repère. \\
\item Calculer les primitives de $f$. On mettra d'abord $f(x)$ sous la forme $f(x) = A+B\parenthese{\Frac{-\sin{x}+\cos{x}}{\cos{x}+\sin{x}}}$ où $A$ et $B$ sont des constantes à préciser. \\
\item En déduire la valeur de l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations $x=0$, $x=\ps{2}$.
\fenmb