2 exercices corrigés de Approfondissement - Continuité et théorèmes en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.
Exercice 1
Pour tout $n\in \N$, on note $f_n$ la fonction définie sur $\Rp$ par $f_n(x) = \Frac{1-x^n}{1+x^n}$.\\
\enmb \item Selon les valeurs du réel $x$, déterminer la fonction $f$ définie sur $\Rp$ par $f(x) = \limn f_n(x)$.\\
\item Cette fonction est-elle continue en tout point de $\R^+$ ?
\fenmb
Exercice 2
Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par
\[
f(x)=x-e^x
\quad \mathrm{et} \quad
g(x)=(1-x)e^x.
\]
On note $\Cf$ et $\Cg$ leurs courbes représentatives.\\
\enmb
\item Déterminer les limites de $f$ et $g$ aux bornes de $\R$, puis étudier leurs variations.\\
\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ est asymptote à $\Cf$ en $-\infty$.\\
\item On pose, pour tout réel $x$, $h(x)=f(x)-g(x)$.\\
Montrer que $\Cf$ et $\Cg$ admettent un unique point d'intersection, dont l'abscisse $\alpha$ appartient à $[1;2]$, puis donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.\\
\item Étudier la position relative de $\Cf$ et $\Cg$.
\fenmb