Exercices - Continuité et raccordements
7 exercices corrigés de Exercices - Continuité et raccordements en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.
Exercices
Exercice 1
$m$ désigne un nombre réel et $f$ est la fonction définie sur $\R$ par \[ f(x) = \begin{cases} x^2 &\text{ si } x \leqslant 0 \\ x+m &\text{ si } x > 0 \end{cases} \]
Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle la fonction $f$ est continue sur $\R$.
Exercice 2
Soit la fonction $f$ définie sur $\R[$ par $f(x) = \begin{cases} x\sin \parenthese{ \Frac{1}{x}} &\text{ si } x \neq 0 \\ f(0)=0 \end{cases}$. \\
$f$ est-elle continue en 0 ? Conclure pour la continuité de $f$ sur $\R$.
Exercice 3
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = \begin{cases} -x+1 \;\; &pour \;\; x<3 \\ x-4 \;\; &pour \;\; 3 \leqslant x < 5 \\ -2x+13 \;\; &pour \;\; x \geqslant 5 \end{cases}\]
La fonction $f$ est-elle continue sur $\R$ ?
Exercice 4
$g$ est la fonction définie sur $\Rp$ par \[g(x) = \Frac{\sqrt{1+x}-1}{x} \quad \text{si} \quad x>0 \quad \text{et} \quad g(0) = \Frac{1}{2} \]
\enmb \item Expliquer pourquoi pour tout réel $x > 0$, $g(x) = \Frac{1}{ \sqrt{x+1} + 1}$. \\
\item Etudier alors la continuité de $g$ sur $\Rp$.
\fenmb
Exercice 5
$h$ est la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = \Frac{x^3+1}{x+1}$ si $x \neq -1$ et $h(-1) = 1$. \\
\enmb \item Expliquer pourquoi pour tout réel $x \neq -1$, $h(x) = x^2-x+1$. \\
\item Etudier alors la continuité de $h$ sur $\R$.
\fenmb
Exercice 6
Soit $f$ définie sur $\R$ par \[ f(x) = \begin{cases} 2-x^2 \quad si \; x \leqslant 0 \\ \\ \Frac{\sin(2x)}{x} \quad si \; x > 0 \end{cases} \] \enmb \item Montrer que $f$ est continue sur $\R$. \\ \item Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$. \\ \item Calculer $\limplus f(x)$. \fenmb
Exercice 7
Soit $\varphi$ la fonction définie par $\varphi(x) = \Frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}$. \\
\enmb \item Déterminer l'ensemble de définition de $\varphi$. \\
\item Etudier la continuité et la dérivabilité de $\varphi$ sur son ensemble de définition. \\
\item Etudier $\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}} \Frac{\varphi(x)-\varphi(1)}{x-1}$ puis interpréter le résultat géométriquement.\fenmb