3 exercices corrigés de Exercices - TVI et résolution d’équations en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.
Exercice 1
$g$ est la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = e^x-(x+2)$. \\
\enmb \item Démontrer que l'équation $g(x) =0$ admet exactement deux solutions dans $\R$. \\
\item Avec la calculatrice, donner l'arrondi au millième des deux solutions.
\fenmb
Exercice 2
Soit $g$ la fonction définie sur $\Rp$ par $g(x)=x^2e^x-1$.\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\Rpe$ par :
\[
f(x)=e^x+\Frac{1}{x}.
\]
\enmb
\item Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\Rp$.\\
\item Démontrer que, pour tout $x > 0$ :
\[
f'(x)=\Frac{g(x)}{x^2}.
\]
\item En déduire que $f$ admet un minimum en $\alpha$.\\
\item Montrer que ce minimum vaut :
\[
m=\Frac{1}{\alpha^2}+\Frac{1}{\alpha}.
\]
\fenmb
Exercice 3
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par
\[
g(x)=(x+2)e^{x-4}-2.
\]
\enmb
\item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$, puis en déduire le signe de $g$ sur $\R$.
\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
\[
f(x)=x^2-x^2e^{x-4}.
\]
\enmb
\item Résoudre l'équation $f(x)=0$ sur $\R$.\\
\item Montrer que le maximum de $f$ sur $\Rp$ est égal à $\Frac{\alpha^3}{\alpha+2}$.\\
\item Déterminer la position relative de $\Cf$ et de la parabole $\mathscr{P}$ d'équation $y=x^2$.
\fenmb