3 exercices corrigés sur Exercices divers, chapitre Trigonométrie, niveau Première Spé. Entraînement en mathématiques sur Maths Manager.
Exercice 1
Pour $\cos x\neq0$, on définit $\tan x=\Frac{\sin x}{\cos x}$. On admet $\tan(\pi/8)=\sqrt2-1$ et on pourra utiliser $\cos(2x)=2\cos^2x-1$.
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\item Justifier les relations $\tan(x+\pi)=\tan x$ et $\tan(\pi-x)=-\tan x$, puis calculer $\tan(9\pi/8)$ et $\tan(7\pi/8)$.
\item Déterminer les valeurs exactes de $\cos(\pi/8)$ et $\sin(\pi/8)$.
\item En déduire l'identité $(\sqrt2-1)\sqrt{2+\sqrt2}=\sqrt{2-\sqrt2}$.
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Exercice 2
Dans un repère orthonormé direct $(O,I,J)$, soit $A$ le point du cercle trigonométrique associé à $\Frac{\pi}{5}$. La bissectrice de $\widehat{OAI}$ coupe $[OI]$ en $E$. On note $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(OI)$ et $L$ celui de $E$ sur $(OA)$.
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\item Montrer que les triangles $OEA$ et $EAI$ sont isocèles, en précisant leurs sommets principaux.
\item En utilisant $H$ puis $L$, obtenir deux expressions de $OE$ en fonction de $\cos(\pi/5)$.
\item En déduire les valeurs exactes de $\cos(\pi/5)$ et $\sin(\pi/5)$.
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