4 exercices corrigés de Exercices - Déterminer une loi, une espérance et une variance en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.
Exercice 1
Une urne contient $n+1$ boules blanches, $n-1$ boules noires et $2$ boules orange, avec $n\geqslant 2$.\\
On tire des boules sans remise jusqu'à obtenir une boule blanche ou une boule noire.\\
On note $D$ la variable aléatoire donnant le nombre total de boules tirées.\\
Déterminer l'espérance de $D$.
Exercice 2
Un sac contient 10 jetons indescernables au toucher : \\
7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3. \\
On tire simultanément deux jetons de ce sac. \\
\enmb \item On note $A$ l'événement : "obtenir deux jetons blanc". \\
Démontrer que $P(A) = \Frac{7}{15}$. \\
\item Soit $X$ une variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané. \\
\enmb \item Déterminer la loi de $X$. \\
\item Déterminer l'espérance de $X$. Interpréter \\
\item Déterminer la variance de $X$.
\fenmb
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Exercice 3
Un exercice est constitué de deux question Q1 et Q2. \\
Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point, une réponse incorrecte, incomplète ou une absence de réponse rapporte zéro point. \\
On considère que : \\
\itm \item Un candidat pris au hasard a une probabilité 0,8 de répondre correctement à la question Q1. \\
\item Si le candidat répond correctement à Q1, il a une probabilité 0,6 de répondre correctement à Q2. S'il ne répond pas correctement à Q1, il a une probabilité de 0,1 de répondre correctement à Q2. \\
\fitm
On prend un candidat au hasard et on note : \\
\itm \item $A$ l'événement : "le candidat répond correctement à Q1" \\
\item $B$ l'événement : "le candidat répond correctement à Q2" \\
\fitm
\enmb \item \enmb\item. Traduire la situation par un arbre pondéré. \\
\item Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2. \\
\fenmb
On note : \\
\itm \item $X_1$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q1. \\
\item $X_2$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q2. \\
\item $X = X_1+X_2$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l'exercice. \\
\fitm
\item Déterminer l'espérance de $X_1$ et de $X_2$. En déduire l'espérance de $X$. Donner une interprétation de l'espérance de $X$. \\
\item On souhaite déterminer la variance de $X$. \\
\enmb \item Déterminer $P(X=0)$ et $P(X=2)$. En déduire $P(X=1)$. \\
\item Montrer que $\mathbb{V}(X) = 0,57$. \\
\item A-t-on $\mathbb{V}(X) = \mathbb{V}(X_1)+\mathbb{V}(X_2)$ ? Est-ce surprenant ?
\fenmb
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Exercice 4
Soit $p \in \N$ et $X$ une variable aléatoire répartie uniformément sur les nombres pairs de $0$ à $2p$. \\
\enmb \item Combien y-a-t-il de nombre pairs entre $0$ et $2p$ ? \\
\item En déduire la loi de $X$. \\
\textit{On donnera la valeur de } $P(X=2i)$ pour tout $i \in \llbracket 0, p \rrbracket$. \\
\item Calculer $\mathbb{E}[X]$. \\
\item On admet que $\mathbb{E}[X^2] = \Sum_{i=0}^{p} (2i)^2 \times \Frac{1}{p+1}$. \\
Calculer $\mathbb{V}(X)$.