Exercices

5 exercices corrigés de Exercices - Arbres et conditionnements en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.

Exercice 1

Louise se rend au travail avec sa voiture. Sa collègue Zoé ne possède pas de voiture.\\ Chaque matin, Louise propose donc à Zoé de l’emmener. Quelle que soit la réponse de Zoé, Louise lui propose de la ramener le soir.\\ On se place un jour donné. On dispose des informations suivantes :\\ \itm \item la probabilité que Louise emmène Zoé le matin est $0,55$ ;\\ \item si Louise a emmené Zoé le matin, la probabilité qu’elle la ramène le soir est $0,7$ ;\\ \item si Louise n’a pas emmené Zoé le matin, la probabilité qu’elle la ramène le soir est $0,24$.\\ \fitm On note $M$ et $S$ les événements suivants :\\ \itm \item $M$ : « Louise emmène Zoé le matin » ;\\ \item $S$ : « Louise ramène Zoé le soir ».\\ \fitm \enmb \item Construire un arbre pondéré traduisant la situation.\\ \item Calculer $P(M \cap S)$. Traduire ce résultat par une phrase.\\ \item Démontrer que la probabilité de l’événement $S$ est égale à $0,493$.\\ \item On sait que Louise a ramené Zoé le soir.\\ Quelle est la probabilité que Louise l’ait emmenée le matin ?\\ \fenmb

Exercice 2

Une urne contient $n+1$ boules blanches et $n-1$ boules noires, avec $n\geqslant 2$.\\ On tire une première boule.\\ Si elle est noire, on ajoute une boule blanche sans remettre la boule noire tirée.\\ Si elle est blanche, on ajoute une boule noire sans remettre la boule blanche tirée.\\ On effectue ensuite un deuxième tirage.\\ Le joueur gagne si la deuxième boule tirée est blanche.\\ Déterminer la probabilité de gagner.

Exercice 3

Lors d’une soirée, une chaîne de télévision a retransmis un match.\\ Cette chaîne a ensuite proposé une émission d’analyse de ce match.\\ On dispose des informations suivantes :\\ \itm \item $56$ % des téléspectateurs ont regardé le match ;\\ \item un quart des téléspectateurs ayant regardé le match ont aussi regardé l’émission ;\\ \item $16,2$ % des téléspectateurs ont regardé l’émission.\\ \fitm On interroge au hasard un téléspectateur.\\ On note les évènements :\\ \itm \item $M$ : « le téléspectateur a regardé le match » ;\\ \item $E$ : « le téléspectateur a regardé l’émission ».\\ \fitm On note $x$ la probabilité qu’un téléspectateur ait regardé l’émission sachant qu’il n’a pas regardé le match.\\ \enmb \item Construire un arbre pondéré illustrant la situation.\\ \item Déterminer la probabilité de $M \cap E$.\\ \item \enmb \item Vérifier que $p(E) = 0,44x + 0,14$.\\ \item En déduire la valeur de $x$.\\ \fenmb \item Le téléspectateur interrogé n’a pas regardé l’émission.\\ Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu’il ait regardé le match ?\\ \fenmb

Exercice 4

Une urne contient $n+1$ boules blanches, $n-1$ boules noires et $2$ boules orange, avec $n\geqslant 2$.\\ On tire une boule au hasard.\\ Si elle est blanche, on gagne.\\ Si elle est noire, on perd.\\ Si elle est orange, on la retire et on effectue un nouveau tirage, jusqu'à obtenir une boule blanche ou noire.\\ Déterminer la probabilité de gagner.

Exercice 5

En France, la consommation de produits bio croît depuis plusieurs années.\\ En $2017$, le pays comptait $52$ % de femmes.\\ Cette même année, $92$ % des Français avaient déjà consommé des produits bio.\\ De plus, parmi les consommateurs de produits bio, $55$ % étaient des femmes.\\ On choisit au hasard une personne dans le fichier des Français de $2017$.\\ On note :\\ \itm \item $F$ l’évènement « la personne choisie est une femme » ;\\ \item $H$ l’évènement « la personne choisie est un homme » ;\\ \item $B$ l’évènement « la personne choisie a déjà consommé des produits bio ».\\ \fitm \enmb \item Traduire les données numériques de l’énoncé à l’aide des évènements $F$ et $B$.\\ \item \enmb \item Montrer que $P(F \cap B) = 0,506$.\\ \item En déduire la probabilité qu’une personne ait consommé des produits bio en $2017$, sachant que c’est une femme.\\ \fenmb \item Calculer $P_H(\overline{B})$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.\\ \fenmb