Exercices - Évolutions aléatoires et suites
4 exercices corrigés de Exercices - Évolutions aléatoires et suites en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.
Exercices
Exercice 1
Alice débute au jeu de fléchettes et elle effectue des lancers successifs d’une fléchette. \\
Lorsqu’elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu’elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à $\Frac{1}{3}$. \\
Lorsqu’elle a manqué la cible à un lancer, la probabilité qu’elle manque la cible au lancer suivant est égale à $\Frac{4}{5}$. \\
On suppose qu’au premier lancer elle a autant de chances d’atteindre la cible que de la manquer. \\
Pour tout entier naturel $n$ strictement positif, on considère les évènements suivants : \\
\itm \item $A_n$ : « Alice atteint la cible au $n$-ième coup ». \\
\item $B_n$ : « Alice rate la cible au $n$-ième coup ». \\
\fitm
On pose $p_n = P(A_n)$. \\
\enmb \item Déterminer $p_1$ et montrer que $p_2 = \Frac{4}{15}$. \\
\item Montrer que pour tout naturel $n \geqslant 2$, $p_n = \Frac{2}{15}p_{n-1}+\Frac{1}{5}$. \\
\item Pour $n \geqslant 1$, on pose $u_n = p_n- \Frac{3}{13}$. \\
Montrer que $\un$ est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme et la raison. \\
\item Exprimer $u_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$. \\
\item Déterminer $\limn p_n$ puis interpréter en dans le contexte de l'exercice.
\fenmb
Exercice 2
Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :\\
\itm
\item Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est $\Frac{1}{4}$\\
\item Si le joueur perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est $\Frac{1}{2}$\\
\item La probabilité de gagner la première partie est $\Frac{1}{4}$\\
\fitm
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l’évènement « la $n^e$ partie est gagnée » et on note $p_n$ la probabilité de cet évènement. On a donc $p_1 = \Frac{1}{4}$\\
\enmb
\item Montrer que $p_2 = \Frac{7}{16}$\\
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = -\Frac{1}{4} p_n + \Frac{1}{2}$\\
\item On obtient ainsi les premières valeurs de $p_n$ :\\
\graph{img-1}{0.7}{ex}
\\
Quelle conjecture peut-on émettre ?\\
\item On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $(u_n)$ par $u_n = p_n - \Frac{2}{5}$\\
\enmb
\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison\\
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n = \Frac{2}{5} - \Frac{3}{20} \left( -\Frac{1}{4} \right)^{n-1}$\\
\item La suite $(p_n)$ converge-t-elle ? Interpréter ce résultat\\
\fenmb
\fenmb
Exercice 3
Dans un zoo, l'unique activité d'un manchot est l'utilisation d'un bassin aquatique équipé d'un toboggan et d'un plongeoir.\\
On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu'il le reprenne est $0,3$.\\
Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu'il le reprenne est $0,8$.\\
Lors du premier passage, les deux équipements ont la même probabilité d'être choisis.\\
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère les événements :\\
\itm
\item $T_n$ : "le manchot utilise le toboggan lors de son $n$-ième passage".\\
\item $P_n$ : "le manchot utilise le plongeoir lors de son $n$-ième passage".
\fitm
On considère alors la suite $(u_n)_{n \geqslant 1}$ définie par $u_n=\mathbb{P}(T_n)$.\\
\enmb
\item
\enmb
\item Donner les valeurs des probabilités $\mathbb{P}(T_1)$, $\mathbb{P}(P_1)$ et des probabilités conditionnelles $\mathbb{P}_{T_1}(T_2)$, $\mathbb{P}_{P_1}(T_2)$.\\
\item Montrer que $\mathbb{P}(T_2)=\Frac{1}{4}$.\\
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré associé à la situation.\\
\item Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 1$, $u_{n+1}=0,1u_n+0,2$.\\
\item À l'aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite $(u_n)$.
\fenmb
\item On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par $v_n=u_n-\Frac{2}{9}$.\\
\enmb
\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\Frac{1}{10}$. Préciser son premier terme.\\
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.\\
\item Calculer la limite de la suite $(u_n)$. Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise précédemment ?
\fenmb
\fenmb
Exercice 4
On étudie le mouvement aléatoire d'une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées $A$, $B$ et $C$.\\
À l'instant initial $n=0$, la puce se trouve en $A$.\\
\itm
\item Si à l'instant $n$ la puce est en $A$, alors à l'instant $n+1$, elle est soit en $B$ avec une probabilité égale à $\Frac{1}{3}$, soit en $C$ avec une probabilité égale à $\Frac{2}{3}$.\\
\item Si à l'instant $n$ la puce est en $B$, alors à l'instant $n+1$, elle est soit en $A$, soit en $C$ de façon équiprobable.\\
\item Si à l'instant $n$ la puce est en $C$, alors elle y reste.
\fitm
On désigne par $A_n$, $B_n$ et $C_n$ les événements : "À l'instant $n$, la puce est respectivement en $A$, $B$ et $C$".\\
On pose $a_n=\mathbb{P}(A_n)$, $b_n=\mathbb{P}(B_n)$ et $c_n=\mathbb{P}(C_n)$.\\
On a donc $a_0=1$ et $b_0=c_0=0$.\\
\enmb
\item Étude du mouvement pour $1 \leqslant n \leqslant 3$.\\
\enmb
\item Donner $a_1$, $b_1$ et $c_1$. Calculer $a_1+b_1+c_1$.\\
\item À l'instant $n=2$, dans quelles cases la puce peut-elle se trouver ? Déterminer $a_2$, $b_2$ et $c_2$.\\
\item À l'instant $n=3$, dans quelles cases la puce peut-elle se trouver ? En déduire $a_3$. Calculer $b_3$ et vérifier que $c_3=\Frac{17}{18}$.
\fenmb
\item Étude du cas général.\\
\enmb
\item Conjecturer les cases sur lesquelles la puce peut se trouver à l'instant $n$ lorsque $n$ est pair, puis lorsque $n$ est impair. En déduire la valeur de $a_{2k+1}$.\\
\item Démontrer que :
\[
\begin{cases}
b_{2k+1}=\Frac{1}{3}a_{2k}\\
a_{2k+2}=\Frac{1}{2}b_{2k+1}
\end{cases}
\]
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $k$, $a_{2k}=\parenthese{\frac{1}{6}}^k$.
\fenmb
\item
\enmb
\item Déterminer le plus petit entier naturel $N$ tel que pour tout $n \in \N$, $n > N \Rightarrow a_n \leqslant 10^{-6}$.\\
\item Montrer que la suite $(a_n)$ est convergente et préciser sa limite.
\fenmb
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