2 exercices corrigés de Exercices - Limites et encadrement en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.
Exercice 1
Soit $g$ la fonction définie sur $\Rpe$ par
\[
g(x)=\Frac{e^x-1}{xe^{2x}}.
\]
\enmb
\item Montrer que, pour tout réel $\alpha$, $e^\alpha\geqslant\alpha+1$, avec égalité seulement si $\alpha=0$. \\
\item Montrer que, pour tout réel $x > 0$, on a :
\[
e^{-2x}\leqslant g(x)\leqslant e^{-x}.
\]
\item En déduire la limite de $g$ en $+\infty$.
\fenmb
Exercice 2
Soit $m$ un réel positif ou nul. Discuter, suivant les valeurs de $m$, l'existence et la valeur de \[ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sqrt{x^2 + m} - 1 }{x} \]
Si nécessaire, on distinguera les limites à gauche et à droite.