Exercices - Inégalités et positions des courbes
7 exercices corrigés de Exercices - Inégalités et positions des courbes en Terminale Spé. Entraînement Maths Manager.
Exercices
Exercice 1
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^3-2x^2$. \\
\enmb
\item Etudier la convexité de la fonction $f$. \\
\item Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction $f$ en $-1$. \\
\item En déduire que pour tout réel $x$ négatif, on a : $x^3-2x^2 \leqslant 7x+4$.
\fenmb
Exercice 2
$g$ est la fonction définie sur $\Rp$ par $g(x) = \sqrt{x}$ et on note $\Cg$ sa courbe représentative.\\
\enmb \item Rappeler la convexité de la fonction $g$.\\
\enmb \item Déterminer $g'(x)$ pour tout réel de $\Rpe$, puis le nombre dérivé $g'(1)$.\\
\item En déduire une équation de la tangente à $\Cg$ au point d'abscisse 1.\\
\fenmb
\item En déduire que pour tout réel $x \in \Rp$, on a $\sqrt{x} \leqslant \Frac{1}{2}x+ \Frac{1}{2}$.
\fenmb
Exercice 3
Soit $g$ la fonction définie sur $\R \backslash \{1\}$ par $g(x) = \Frac{e^{x}}{1-x}$. \\
\enmb
\item Déterminer $g'(x)$, puis montrer que $g''$ a pour expression $g''(x) = \Frac{e^x(x^2-4x+5)}{(1-x)^3}$. \\
\item En déduire la convexité de $g$ et les abscisses des éventuels points d'inflexion. \\
\item Montrer que, pour tout $x<1$, $e^x \geqslant -2x^2+x+1$.
\fenmb
Exercice 4
Montrer que $\forall x \in [0,1]$, $e^x \leqslant 1 +x(e-1)$.
Exercice 5
Soit $f$ une fonction convexe sur $[a,b]$. \\ \\
Montrer que $f\parenthese{\Frac{a+b}{2}} \leqslant \Frac{f(a)+f(b)}{2}$.
Exercice 6
Soient un entier $n \geqslant 1$ et $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^{2n}$.\\
\enmb \item Etudier la convexité de $f$ sur $\R$.\\
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 1. \\
En déduire que $\forall n \in \N^*, \forall x \in \R, x^{2n} \geqslant 2nx + 1 - 2n$.\\
\item Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, pour tout $a,b \in \R$, $(a+b)^{2n} \leqslant 2^{2n-1}(a^{2n}+b^{2n})$.
\fenmb
Exercice 7
Soit $f(x) = \Frac{x}{e^x-x}$. \\
Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$ puis interpréter graphiquement.