Probabilités conditionnelles
10 exercices corrigés sur Probabilités conditionnelles, chapitre Probabilités, niveau Première Spé. Entraînement en mathématiques sur Maths Manager.
Exercices
Exercice 1
Un chirurgien orthopédique commande des prothèses chez trois fabricants $A$, $B$ et $C$. Le tiers des prothèses provient de $A$, $30\%$ provient de $B$ et le reste provient de $C$. La proportion de prothèses défectueuses est de $0{,}3\%$ chez $A$, de $0{,}6\%$ chez $B$ et de $0{,}5\%$ chez $C$.\\
On prend au hasard la fiche d'un patient qui s'est fait poser une prothèse chez ce médecin. Quelle est la probabilité que cette prothèse soit défectueuse ?
Exercice 2
Un groupe de touristes arrive près de l'horloge astronomique de Prague. \\
60% des touristes sont Anglais, les autres sont Français. \\
Parmi les touristes Anglais, $20$% parlent français. \\
Le guide, qui ne connaît pas ce groupe, décide de donner les explications en français. \\
On choisit au hasard l'un des touristes du groupe. \\
Déterminer la probabilité que ce touriste comprenne les explications du guide.
Exercice 3
Dans une population donnée, 15% des individus ont une maladie $M_a$. Parmi les individus atteints de la maladie $M_a$, 20% ont une maladie $M_b$ et parmi les individus non atteints de la maladie $M_a$, 4% ont la maladie $M_b$. \\
On examine au hasard un individu de cette population et on considère les événements :
\itm \item $A$ : "l'individu est atteint de la maladie $M_a$"
\item $B$ : "l'individu est atteint de la maladie $M_b$"
\fitm
\enmb \item Quelle est la probabilité qu'un individu ne soit atteint d’aucune des deux maladies ?
\item Calculer la probabilité de l'événement $B$.
\item En déduire la probabilité qu'un individu soit atteint de la maladie $M_a$ sachant qu'il est atteint de la maladie $M_b$.
\fenmb
Exercice 4
On sait que $1$% d'une population est atteinte d'une certaine maladie orpheline. On dispose d'un test de dépistage avec les données suivantes :
\itm
\item si la personne est atteinte, le test est positif dans $90$% des cas ;
\item si la personne n'est pas atteinte, le test est néanmoins positif dans $5$% des cas.
\fitm
On choisit une personne au hasard. On note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ».
\enmb
\item Traduire les hypothèses en termes de probabilités.
\item
\enmb
\item Calculer $\mathbb{P}(M \cap T)$ et $\mathbb{P}(\overline{M} \cap T)$.
\item Calculer $\mathbb{P}(T)$.
\fenmb
\item Quelle est la probabilité qu'une personne soit réellement atteinte sachant que son test est positif ?
\item Quelle est la probabilité qu'une personne ne soit pas atteinte sachant que son test est positif ?
\item Quelle est la probabilité qu'une personne soit atteinte sachant que son test est négatif ?
\fenmb
Exercice 5
Un professeur se trouve en possession de $5$ clefs de salles. Parmi ces $5$ clefs, $2$ sont défectueuses et n'ouvrent pas la porte, les $3$ autres l'ouvrent. Il les teste une à une, au hasard et sans remise. On appelle clef numéro $x$ la clef utilisée au $x$-ième essai.
\enmb
\item On appelle $D_1$ l'événement « la clef numéro $1$ n'ouvre pas la porte ». Calculer sa probabilité.
\item On appelle $D_2$ l'événement « la clef numéro $2$ n'ouvre pas la porte ». Calculer $\mathbb{P}_{D_1}(D_2)$, puis $\mathbb{P}(D_1 \cap D_2)$.
\item Quelle est la probabilité de l'événement « les clefs numéros $1$ et $2$ ouvrent la porte et la clef numéro $3$ ne l'ouvre pas » ?
\item Pour $1 \leq i < j \leq 5$, on note $(i \; ; \; j)$ l'événement « les clefs qui n'ouvrent pas la porte sont les clefs numéros $i$ et $j$ ».
\enmb
\item Calculer $\mathbb{P}(2 \; ; \; 4)$.
\item Calculer $\mathbb{P}(4 \; ; \; 5)$.
\fenmb
\fenmb
Exercice 6
Louise se rend au travail avec sa voiture. Sa collègue Zoé ne possède pas de voiture.\\
Chaque matin, Louise propose donc à Zoé de l’emmener. Quelle que soit la réponse de Zoé, Louise lui propose de la ramener le soir.\\
On se place un jour donné. On dispose des informations suivantes :\\
\itm
\item la probabilité que Louise emmène Zoé le matin est $0,55$ ;\\
\item si Louise a emmené Zoé le matin, la probabilité qu’elle la ramène le soir est $0,7$ ;\\
\item si Louise n’a pas emmené Zoé le matin, la probabilité qu’elle la ramène le soir est $0,24$.\\
\fitm
On note $M$ et $S$ les événements suivants :\\
\itm
\item $M$ : « Louise emmène Zoé le matin » ;\\
\item $S$ : « Louise ramène Zoé le soir ».\\
\fitm
\enmb
\item Construire un arbre pondéré traduisant la situation.\\
\item Calculer $P(M \cap S)$. Traduire ce résultat par une phrase.\\
\item Démontrer que la probabilité de l’événement $S$ est égale à $0,493$.\\
\item On sait que Louise a ramené Zoé le soir.\\
Quelle est la probabilité que Louise l’ait emmenée le matin ?\\
\fenmb
Exercice 7
Lors d’une soirée, une chaîne de télévision a retransmis un match.\\
Cette chaîne a ensuite proposé une émission d’analyse de ce match.\\
On dispose des informations suivantes :\\
\itm
\item $56$ % des téléspectateurs ont regardé le match ;\\
\item un quart des téléspectateurs ayant regardé le match ont aussi regardé l’émission ;\\
\item $16,2$ % des téléspectateurs ont regardé l’émission.\\
\fitm
On interroge au hasard un téléspectateur.\\
On note les évènements :\\
\itm
\item $M$ : « le téléspectateur a regardé le match » ;\\
\item $E$ : « le téléspectateur a regardé l’émission ».\\
\fitm
On note $x$ la probabilité qu’un téléspectateur ait regardé l’émission sachant qu’il n’a pas regardé le match.\\
\enmb
\item Construire un arbre pondéré illustrant la situation.\\
\item Déterminer la probabilité de $M \cap E$.\\
\item \enmb
\item Vérifier que $p(E) = 0,44x + 0,14$.\\
\item En déduire la valeur de $x$.\\
\fenmb
\item Le téléspectateur interrogé n’a pas regardé l’émission.\\
Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu’il ait regardé le match ?\\
\fenmb
Exercice 8
En France, la consommation de produits bio croît depuis plusieurs années.\\
En $2017$, le pays comptait $52$ % de femmes.\\
Cette même année, $92$ % des Français avaient déjà consommé des produits bio.\\
De plus, parmi les consommateurs de produits bio, $55$ % étaient des femmes.\\
On choisit au hasard une personne dans le fichier des Français de $2017$.\\
On note :\\
\itm
\item $F$ l’évènement « la personne choisie est une femme » ;\\
\item $H$ l’évènement « la personne choisie est un homme » ;\\
\item $B$ l’évènement « la personne choisie a déjà consommé des produits bio ».\\
\fitm
\enmb
\item Traduire les données numériques de l’énoncé à l’aide des évènements $F$ et $B$.\\
\item \enmb
\item Montrer que $P(F \cap B) = 0,506$.\\
\item En déduire la probabilité qu’une personne ait consommé des produits bio en $2017$, sachant que c’est une femme.\\
\fenmb
\item Calculer $P_H(\overline{B})$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.\\
\fenmb
Exercice 9
Une urne contient $n+1$ boules blanches et $n-1$ boules noires, avec $n\geqslant 2$.\\
On tire une première boule.\\
Si elle est noire, on ajoute une boule blanche sans remettre la boule noire tirée.\\
Si elle est blanche, on ajoute une boule noire sans remettre la boule blanche tirée.\\
On effectue ensuite un deuxième tirage.\\
Le joueur gagne si la deuxième boule tirée est blanche.\\
Déterminer la probabilité de gagner.
Exercice 10
Une urne contient $n+1$ boules blanches, $n-1$ boules noires et $2$ boules orange, avec $n\geqslant 2$.\\
On tire une boule au hasard.\\
Si elle est blanche, on gagne.\\
Si elle est noire, on perd.\\
Si elle est orange, on la retire et on effectue un nouveau tirage, jusqu'à obtenir une boule blanche ou noire.\\
Déterminer la probabilité de gagner.