Exercices divers

Exercice 635. La proposition suivante est-elle vraie ? \[ \forall x \in \R, \sqrt{x^2}=x \]
Exercice 636. Soit $x \in \R$. Montrer que : $x \notin \Q \implies x+1 \notin \Q$.
Exercice 637. Montrer que $\forall a,b \in \R_{*}^{+}, \; \sqrt{a+b} < \sqrt{a}+\sqrt{b}$.
Exercice 638. Soient $a,b \in \R$. Montrer que $(\forall n \in \N,\; a2^{n}+b3^n=a) \iff a=b=0$.
Exercice 639. \\
  1. Montrer que pour tout $a,b,c,d \in \R$ : $(a\leqslant b \;\; et \;\; c\leqslant d) \implies a+c \leqslant b+d$. \\
  2. L'implication réciproque est-elle également valable pour tous réels $a$, $b$, $c$, $d$? \\
  3. Que penser de l'affirmation suivante : $\forall a,b,c,d \in \R$, $\parenthese{a+c \leqslant b+d \implies (a \leqslant b \;\; ou \;\; c \leqslant d)}$.
Exercice 640. Soit $a \in \R^{+}$. Montrer que $(\forall \varepsilon > 0,\; a \leqslant \varepsilon) \iff a = 0$.
Exercice 641. Soit $x$ un réel. Montrer que si $\forall \varepsilon > 0, \abs{x} \leqslant \varepsilon$, alors $x=0$.
Exercice 642. En considérant le nombre $\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}}$, montrer qu’il existe deux nombres irrationnels $a>0$ et $b>0$ tels que $a^b$ soit rationnel.
Exercice 643. \\
  1. Justifier que pour tout $x \in \R$, $x(1-x) \leqslant \Frac{1}{4}$. \\
  2. Soient $a,b,c$ trois réels dans $[0;1]$. \\ Prouver que l'un au moins des nombres suivants est inférieur ou égal à $\Frac{1}{4}$ : $a(1-b), \quad b(1-c) \; \; et \; \; c(1-a)$. \\
  3. Soient $a,b,c$ trois réels strictement positifs. \\ En adaptant le raisonnement précédent, justifier que parmi les trois nombres $a+\Frac{1}{b}$, $b+\Frac{1}{c}$ et $c+\Frac{1}{a}$, il existe au moins un nombre supérieur à $2$.
Exercice 644. Soient $x$ et $y$ deux réels positifs tels que $y \leqslant x^2$. Montrer que \[ \sqrt{x+\sqrt{y}} = \sqrt{\Frac{x+\sqrt{x^2-y}}{2}}+\sqrt{\Frac{x-\sqrt{x^2-y}}{2}} \]
Exercice 645. Montrer que pour tout $n \in \N$, $n! \leqslant \parenthese{\Frac{n+1}{2}}^n$.
Exercice 646. \\
  1. Montrer que pour tout $(x,y) \in [1,+\infty[^2$, $x+y \leqslant 1+xy$. \\
  2. Soient $n \in \N^*$ et $a_1,\hdots,a_n \in [1,+\infty[$. Montrer que \[ \prod_{i=1}^{n}(1+a_i) \leqslant 2^{n-1} \parenthese{1+\Prod_{i=1}^{n}a_i} \]
Exercice 647. Simplifier $\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$.
Exercice 648. \\
  1. Soit $p \in \N$. \\ Montrer que pour tout $n \in \llbracket 0,(p+1)!-1\rrbracket$, il existe un $(p+1)$-uplet $(n_0,\hdots,n_p)\in \N^{p+1}$ tel que \[ \forall k \in \llbracket 0,p \rrbracket,\; 0 \leqslant n_k \leqslant k\;\; et \;\; n = \Sum_{k=0}^{p}n_k k!\]
  2. Justifier l'unicité d'une telle suite.
Exercice 649. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ définie par $u_0 = u_1 = 1$ et $\forall n \in \N^*$, \[ u_{n+1} = u_n + \Frac{2}{n+1}u_{n-1} \] Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $1 \leqslant u_n \leqslant n^2$.
Exercice 650. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ définie par $u_0 =1$ et \[ \forall n \in \N^*, \; u_{n+1} = \Frac{1}{n+1} \Sum_{k=0}^{n} u_k^2 \] Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n = 1$.
Exercice 651. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ telle que $u_0 \geqslant 0$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1} \leqslant \Sum_{k=0}^{n} u_k$. \\ Montrer que $\forall n \in \N$, $u_n \leqslant 2^n u_0$.
Exercice 652. Soit $u$ la suite vérifiant : \\ $\begin{cases} u_2 = 2 \\ u \;\; est \; strictement \; croissante \\ \forall p,q \in \N, u_{pq} = u_pu_q \end{cases}$. \\ Montrer que $\forall n \in \N$, $u_n = n$.