Exercices divers

Exercice 772. Montrer que $\forall a,b \in \R_{*}^{+}, \; \sqrt{a+b} < \sqrt{a}+\sqrt{b}$.
Exercice 773. Soient $a,b \in \R$. Montrer que $(\forall n \in \N, a2^{n}+b3^n=a) \iff a=b=0$.
Exercice 774.
  1. Montrer que pour tout $a,b,c,d \in \R$ : $(a\leqslant b \;\; et \;\; c\leqslant d) \implies a+c \leqslant b+d$. \\
  2. L'implication réciproque est-elle également valable pour tous réels $a$, $b$, $c$, $d$? \\
  3. Que penser de l'affirmation suivante : $\forall a,b,c,d \in \R$, $\parenthese{a+c \leqslant b+d \implies (a \leqslant b \;\; ou \;\; c \leqslant d)}$.
Exercice 775. Soit $a \in \R^{+}$. Montrer que $(\forall \varepsilon < 0,\; a \leqslant \varepsilon) \iff a = 0$.
Exercice 776. Soit $x \in \R$. Montrer que : $x \notin \Q \implies x+1 \notin \Q$.
Exercice 777. Soit $n > 0$. Montrer que si $n$ est le carré d'un entier, alors $2n$ n'est pas le carré d'un entier.
Exercice 778. Montrer que si $x<1$, alors $\abs{x-4} > 3$.
Exercice 779. Montrer que si $(n^2-1)$ n'est pas divisible par 8, alors $n$ est pair.
Exercice 780. Démontrer que, pour tout $x \in \R$, $\abs{x-1} \leqslant x^2-x+1$.
Exercice 781. La proposition suivante est-elle vraie ? \[ \forall x \in \R, \sqrt{x^2}=x \]
Exercice 782.
  1. Justifier que pour tout $x \in \R$, $x(1-x) \leqslant \Frac{1}{4}$. \\
  2. Soient $a,b,c$ trois réels dans $[0;1]$. Prouver que l'un au moins des nombres suivants est inférieur ou égal à $\Frac{1}{4}$ : \[ a(1-b), \quad b(1-c) \; \; et \; \; c(1-a) \]
  3. Soient $a,b,c$ trois réels strictement positifs. \\ En adaptant le raisonnement précédent, justifier que parmi les trois nombres $a+\Frac{1}{b}$, $b+\Frac{1}{c}$ et $c+\Frac{1}{a}$, il existe au moins un nombre supérieur à $2$.
Exercice 783. Soit $x$ un réel. Montrer que si $\forall \varepsilon > 0, \abs{x} \leqslant \varepsilon$, alors $x=0$.
Exercice 784. Soient $x$ et $y$ deux réels positifs tels que $y \leqslant x^2$. Montrer que \[ \sqrt{x+\sqrt{y}} = \sqrt{\Frac{x+\sqrt{x^2-y}}{2}}+\sqrt{\Frac{x-\sqrt{x^2-y}}{2}} \]
Exercice 785. Simplifier $\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$.
Exercice 786. Montrer que si $(n^2-1)$ n'est pas divisible par 4, alors $n$ est pair.