Exercices divers

Exercice 630. La proposition suivante est-elle vraie ? \[ \forall x \in \R, \sqrt{x^2}=x \]
Exercice 631. Soient $a,b \in \R$. Montrer que $(\forall n \in \N,\; a2^{n}+b3^n=a) \iff a=b=0$.
Exercice 632. \\
  1. Montrer que pour tout $a,b,c,d \in \R$ : $(a\leqslant b \;\; et \;\; c\leqslant d) \implies a+c \leqslant b+d$. \\
  2. L'implication réciproque est-elle également valable pour tous réels $a$, $b$, $c$, $d$? \\
  3. Que penser de l'affirmation suivante : $\forall a,b,c,d \in \R$, $\parenthese{a+c \leqslant b+d \implies (a \leqslant b \;\; ou \;\; c \leqslant d)}$.
Exercice 633. Soit $x$ un réel. Montrer que si $\forall \varepsilon > 0, \abs{x} \leqslant \varepsilon$, alors $x=0$.
Exercice 634. Soient $x$ et $y$ deux réels positifs tels que $y \leqslant x^2$. Montrer que \[ \sqrt{x+\sqrt{y}} = \sqrt{\Frac{x+\sqrt{x^2-y}}{2}}+\sqrt{\Frac{x-\sqrt{x^2-y}}{2}} \]
Exercice 635. Simplifier $\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$.
Exercice 636. \\
  1. Soit $p \in \N$. \\ Montrer que pour tout $n \in \llbracket 0,(p+1)!-1\rrbracket$, il existe un $(p+1)$-uplet $(n_0,\hdots,n_p)\in \N^{p+1}$ tel que \[ \forall k \in \llbracket 0,p \rrbracket,\; 0 \leqslant n_k \leqslant k\;\; et \;\; n = \Sum_{k=0}^{p}n_k k!\]
  2. Justifier l'unicité d'une telle suite.