Raisonnement par disjonction de cas
Exercice
764. Montrer que pour tout $n \in \N$, $\Frac{n(n+1)}{2}$ est un entier.
Exercice
765.
- Montrer que pour tout entier naturel $n$, l'entier $n^3-3n$ est pair. \\
- Simplifier l'expression suivante : $-\Frac{(-1)^{n^3-1}\times(-1)^{3n+2}}{-(-1)^{8n-1}}$.
Exercice
766. Le maximum de deux nombres $x$ et $y$ est noté $\max(x,y)$. De même, $\min(x,y)$ désigne le minimum des nombres $x$ et $y$. \\
- Montrer que $\max(x,y)=\Frac{x+y+\abs{x-y}}{2}$ et $\min(x,y) = \Frac{x+y-\abs{x-y}}{2}$. \\
- Trouver une formule similaire pour $\max(x,y,z)$, le maximum des trois nombres $x$, $y$ et $z$.
Exercice
767. Soient $f : \R \to \R$ et $u$ la suite définie par \[ u_0 = 0 \quad et \quad \forall n \in \N, \; u_{n+1} = f(u_n) \]
Montrer que si la fonction $f : \R \to \R$ est croissante, alors la suite $u$ est monotone. \\
Indication : on pourra faire une disjonction de cas : $f(0) \leqslant 0 \;\; ou \;\; f(0) > 0$.
Exercice
768. Montrer que pour tout entier relatif $n$, $n(n-5)(n+5)$ est divisible par 3.
Exercice
769. Résoudre dans $\R$ l'équation suivante : \[ \abs{-3x+4} + \abs{x-5} = 10 \]
Exercice
770. Montrer que pour tout $x \in \R$, $\abs{x-1} \leqslant x^2-x+1$.
Exercice
771. Résoudre l'inéquation $x-1 \leqslant \sqrt{x+2}$.