Absurde

Exercice 770. Un incontournable

\\ Montrer que $\sqrt{2} \notin \Q$.
Exercice 771. Montrer que $\Frac{\ln{2}}{\ln{3}}$ est un nombre irrationnel.
Exercice 772. Montrer que pour tout $a,b \in \Z$, $a+b\sqrt{2} \notin \Q$.
Exercice 773. \\
  1. Montrer que si $a$ et $b$ sont deux nombres entiers vérifiant $a+b\sqrt{2}=0$ alors $a=b=0$. \\
  2. En déduire que si $m$, $n$, $p$ et $q$ sont des entiers relatifs, alors $m+n\sqrt{2}=p+q\sqrt{2} \iff (m=p \;\; et \;\; n=q)$.
Exercice 774. Soit $n >0 $. Démontrer que si $n$ est le carré d'un entier, alors $2n$ n'est pas le carré d'un entier.
Exercice 775. Montrer que $\Frac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.
Exercice 776. Montrer que les fonctions affines qui sont bornées sur $\R$ sont les fonctions constantes.
Exercice 777. Soient $x_0$, $x_1$ et $x_2$ trois réels de l'intervalle $[0;1]$ tels que : $x_0 \leqslant x_1 \leqslant x_2$. \\ Montrer qu'au moins une des quantités $x_1-x_0$ et $x_2-x_1$ est inférieure ou égale à $\Frac{1}{2}$.
Exercice 778. Montrer qu'il n'existe aucune suite d'entiers naturels strictement décroissante.
Exercice 779. Montrer que la fonction identité est la seule fonction $f$ définie sur $\R$ vérifiant : \\
  • $f$ est strictement croissante sur $\R$, \\
  • pour tout réel $x$, $f(f(x))=x$.
Exercice 780. Soit $u$ une suite de réels telle que $\forall n \in \N$, $u_n^2=u_n^n+3u_n-2$. \\ On suppose que la suite converge. Montrer que $\limn u_n = 1$.