Absurde

Exercice 600. Montrer qu'il n'existe pas de plus petit réel strictement positif.

Exercice 601. Un incontournable

\\ Montrer que $\sqrt{2} \notin \Q$.
Exercice 602. Montrer que $\Frac{\ln{2}}{\ln{3}}$ est un nombre irrationnel.
Exercice 603. Montrer que pour tout $a,b \in \Z$, $a+b\sqrt{2} \notin \Q$.
Exercice 604. \\
  1. Montrer que $\forall (a,b) \in \Z^2$, $a+b\sqrt{2}=0 \implies a=b=0$. \\
  2. En déduire que l'écriture $x=a+b\sqrt{2}$ est unique.
Exercice 605. Soit $n >0 $. Démontrer que si $n$ est le carré d'un entier, alors $2n$ n'est pas le carré d'un entier.
Exercice 606. Montrer que $\Frac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.
Exercice 607. Montrer que les fonctions affines qui sont bornées sur $\R$ sont les fonctions constantes.
Exercice 608. Soient $x_0$, $x_1$ et $x_2$ trois réels de l'intervalle $[0;1]$ tels que : $x_0 \leqslant x_1 \leqslant x_2$. \\ Montrer qu'au moins une des quantités $x_1-x_0$ et $x_2-x_1$ est inférieure ou égale à $\Frac{1}{2}$.
Exercice 609. Montrer qu'il n'existe aucune suite d'entiers naturels strictement décroissante.
Exercice 610. Montrer que la fonction identité est la seule fonction $f$ définie sur $\R$ vérifiant : \\
  • $f$ est strictement croissante sur $\R$, \\
  • pour tout réel $x$, $f(f(x))=x$.
Exercice 611. Soit $u$ une suite de réels telle que $\forall n \in \N$, $u_n^2=u_n^n+3u_n-2$. \\ On suppose que la suite converge. Montrer que $\limn u_n = 1$.