Raisonnement par récurrence

Exercice 724.
  1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, l'entier $n^2+n$ est pair. \\
  2. Proposer une autre démonstration de ce résultat.
Exercice 725. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1} = -3u_n+2$. \\ Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $u_n = \Frac{1}{2}+\Frac{1}{2}\times(-3)^n$.

Exercice 726. Récurrence double

Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$, $u_1 = 6$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+2} = 6u_{n+1}-9u_n$.\\ Montrer que pour tout $n\in\N$, $u_n = (n+1)\times3^n$.

Exercice 727. Inégalité de Bernoulli

Montrer que pour tout $n \in \N$, $\forall x \in \R^{+}$, $(1+x)^n \geqslant 1+nx$.
Exercice 728. Montrer que pour tout $n \in \N$, $2^n \geqslant n$.
Exercice 729. Montrer que $\forall n \in \N^*$, $2^{n-1} \leqslant n! \leqslant n^n$.

Exercice 730. Suite de Fibonacci

On considère la suite de fibonacci notée $(F_n)$ définie par $F_0=F_1=1$ et pour tout $n \geqslant 0$, \[ F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} \] Montrer que la suite $(F_n)$ vérifie pour tout $n \in \N$, $F_nF_{n+2} -F_{n+1}^2 = (-1)^n$.
Exercice 731. Soit $\un$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \geqslant 0$, \[ u_{n+1} = u_0 +u_1 +\hdots+u_n \] Montrer que pour tout $n\geqslant 1$, $u_n = 2^{n-1}$.

Exercice 732. Récurrence forte

Soit $x \in \R^*$ tel que $x + \Frac{1}{x}$ soit un entier. Montrer que pour tout $n \in \N$, $x^n+\Frac{1}{x^n}$ est un entier. \\ indication : on pourra calculer $\parenthese{x^n+\Frac{1}{x^n}}\parenthese{x+\Frac{1}{x}}$.

Exercice 733. Suite de Wallis

On définit la suite $(W_n)$ par les conditions $W_0 = 0$, $W_1 = 1$ et pour tout $n \in \N$, $W_{n+2} = \Frac{n+1}{n+2}W_n$. \\
  1. Donner la valeur de $W_{2p}$ pour tout $p \in \N$. \\
  2. A l'aide d'un raisonnement par récurrence, justifier que pour tout $p \in \N$, $W_{2p+1} = \Frac{4^p(p!)^2}{(2p+1)!}$.
Exercice 734.
  1. Soient $a_1, \hots, a_n$ des réels positifs. Montrer que $\displaystyle \prod_{i=1}^{n}(1+a_i) \geqslant 1+ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_i$. \\
  2. Soient $a_1, \hdots, a_n$ des réels supérieurs à $1$. Montrer que $\displaystyle \prod_{i=1}^{n}a_i \geqslant 1-n+\sum_{i=1}^{n}a_i$. \\

Exercice 735. Récurrence forte n°2

Soient $c$ un réel et $u$ la suite définie par \[ u_0 = c \; \; et \; \; \forall n \in \N, \; u_{n+1} = \Frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}u_ku_{n-k} \] Calculer $u_1$ et $u_2$. Quelle conjecture simple en déduit-on sur la valeur de $u_n$ ? La prouver.
Exercice 736. Montrer que pour tout $n \in \N$, $6$ divise $7^n-1$.
Exercice 737. Montrer que pour tout $x \in \R_{+}$, pour tout $n \in \N$, on a \[ e^x \geqslant 1+x+\hdots+\Frac{x^n}{n!} \]
Exercice 738. Montrer que pour tout entier $n \geqslant 3$, on peut trouver $n$ entiers $x_1,\hdots,x_n$ strictement positifs, deux à deux distincts, tels que $\Frac{1}{x_1}+\hdots+\Frac{1}{x_n} = 1$. \\ on pourra commencer par écrire $1 = \Frac{1}{2} + \Frac{1}{2}$ et décomposer $\Frac{1}{2}$.
Exercice 739. Démontrer que tout entier naturel $n \geqslant 1$ peut s'écrire sous la forme $n = 2^p(2q+1)$ avec $(p,q) \in \N$ \\ On pourra faire une disjonction de cas dans l'hérédité suivant la parité de $n$.
Exercice 740. Montrer que tout entier $n \geqslant 1$ peut s'écrire comme somme de puissances de $2$ toutes distinctes. \\ On pourra distinguer les cas $n$ pair et $n$ impair dans l'hérédité de la récurrence forte.
Exercice 741. Soit $A$ une partie de $\N^*$ possédant trois propriétés : \\
  • $1 \in A$; \\
  • $\forall n \in \N^*$, $n \in A \implies 2n \in A$; \\
  • $\forall n \in \N^*$, $n+1 \in A \implies n \in A$. \\
Démontrer que $A = \N^*$.