Récurrences

Exercice 765. \\
  1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, l'entier $n^2+n$ est pair. \\
  2. Proposer une autre démonstration de ce résultat.

Exercice 766. Inégalité de Bernoulli

\\ Montrer que pour tout $n \in \N$, $\forall x \in \R^{+}$, $(1+x)^n \geqslant 1+nx$.
Exercice 767. Soit $\theta \in \R$. \\ Montrer que pour tout $n \in \N$, on a $\left| \sin(n\theta) \right| \leqslant n \left| \sin(\theta) \right|$.

Exercice 768. Nombres de Pierre de Fermat

\\ On définit la suite $(F_n)$ par $F_n = 2^{2^n}+1$ pour tout entier naturel $n$. \\
  1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $F_{n+1} = (F_n-1)^2+1$. \\
  2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $F_n-2 = \displaystyle \prod_{k=0}^{n-1} F_k$.

Exercice 769. Récurrence simple

\\ Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1} = -3u_n+2$. \\ Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $u_n = \Frac{1}{2}+\Frac{1}{2}\times(-3)^n$.

Exercice 770. Récurrence simple n°2

\\ Montrer que pour tout $n \in \N$, $2^n \geqslant n$.

Exercice 771. Récurrence double

\\ Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$, $u_1 = 6$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+2} = 6u_{n+1}-9u_n$.\\ Montrer que pour tout $n\in\N$, $u_n = (n+1)\times3^n$.

Exercice 772. Récurrence et divisibilité

\\ Montrer que pour tout $n \in \N$, $6$ divise $7^n-1$.
Exercice 773. Montrer que $\forall n \in \N^*$, $2^{n-1} \leqslant n! \leqslant n^n$.

Exercice 774. Suite de Fibonacci

\\ On considère la suite de fibonacci notée $(F_n)$ définie par $F_0=F_1=1$ et pour tout $n \geqslant 0$, \[ F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} \] Montrer que la suite $(F_n)$ vérifie pour tout $n \in \N$, $F_nF_{n+2} -F_{n+1}^2 = (-1)^n$.
Exercice 775. Soit $\un$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \geqslant 0$, \[ u_{n+1} = u_0 +u_1 +\hdots+u_n \] Montrer que pour tout $n\geqslant 1$, $u_n = 2^{n-1}$.
Exercice 776. Montrer que pour tout entier $n \geqslant 2$, $1 + \dfrac{1}{2^2} + \cdots + \dfrac{1}{n^2} > \dfrac{3n}{2n+1}$.

Exercice 777. Récurrence double

\\ Soit $x \in \R^*$ tel que $x + \Frac{1}{x}$ soit un entier. \\ Montrer que pour tout $n \in \N$, $x^n+\Frac{1}{x^n}$ est un entier.

Exercice 778. Puissance d'irrationnel

\\ On s'intéresse à la forme développée de $(2+\sqrt{3})^n$. \\ Montrer qu'il existe deux suites d'entiers naturels $a_n$ et $b_n$ telles que pour tout $n \in \N$, $(2+\sqrt{3})^n = a_n + b_n \sqrt{3}$.

Exercice 779. Récurrence forte

\\ Soient $c$ un réel et $u$ la suite définie par \[ u_0 = c \; \; et \; \; \forall n \in \N, \; u_{n+1} = \Frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}u_ku_{n-k} \] Calculer $u_1$ et $u_2$. Quelle conjecture simple en déduit-on sur la valeur de $u_n$ ? La prouver.
Exercice 780. Montrer que pour tout $x \in \R_{+}$, pour tout $n \in \N$, on a \[ e^x \geqslant 1+x+\hdots+\Frac{x^n}{n!} \]
Exercice 781. Soit $\un$ une suite à valeur dans $\N$ telle que pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \Frac{u_0+u_1+\hdots+u_n}{n+1}$.\\ Montrer que $\un$ est constante.
Exercice 782. \\
  1. Soient $a_1, \hots, a_n$ des réels positifs. Montrer que $\displaystyle \prod_{i=1}^{n}(1+a_i) \geqslant 1+ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_i$. \\
  2. Soient $a_1, \hdots, a_n$ des réels supérieurs à $1$. Montrer que $\displaystyle \prod_{i=1}^{n}a_i \geqslant 1-n+\sum_{i=1}^{n}a_i$.

Exercice 783. Suite de Wallis

\\ On définit la suite $(W_n)$ par les conditions $W_0 = 0$, $W_1 = 1$ et pour tout $n \in \N$, $W_{n+2} = \Frac{n+1}{n+2}W_n$. \\
  1. Donner la valeur de $W_{2p}$ pour tout $p \in \N$. \\
  2. A l'aide d'un raisonnement par récurrence, justifier que pour tout $p \in \N$, $W_{2p+1} = \Frac{4^p(p!)^2}{(2p+1)!}$.
Exercice 784. Soit $A$ une partie de $\N^*$ telle que : \\
  • $1 \in A$; \\
  • $\forall n \in \N^*$, $n \in A \implies 2n \in A$; \\
  • $\forall n \in \N^*$, $n+1 \in A \implies n \in A$. \\
Démontrer que $A = \N^*$.
Exercice 785. Montrer que pour tout entier $n \geqslant 3$, on peut trouver $n$ entiers $x_1,\hdots,x_n$ strictement positifs, deux à deux distincts, tels que $\Frac{1}{x_1}+\hdots+\Frac{1}{x_n} = 1$.
Exercice 786. Démontrer que tout entier naturel $n \geqslant 1$ peut s'écrire sous la forme $n = 2^p(2q+1)$ avec $(p,q) \in \N$.
Exercice 787. Montrer que tout entier $n \geqslant 1$ peut s'écrire comme somme de puissances de $2$ toutes distinctes.
Exercice 788. Montrer que pour tout entier $n \geqslant 2$, pour tout $a \in ]0,1[$, $(1-a)^n < \Frac{1}{1+na}$.