Exercices

Exercice 609. On considère le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct. À tout nombre complexe $z$ différent de $i$, on associe le nombre complexe $Z$ défini par $Z = \Frac{z+1}{z-i}$. \\ On pose $z = x + i y$ où $x$ et $y$ désignent les parties réelle et imaginaire de $z$.\\

1. Calculer en fonction de $x$ et $y$ la partie réelle et la partie imaginaire de $Z$.\\
2. Déterminer l’ensemble $E_1$ des points du plan complexe tels que $Z$ soit réel.\\
3. Déterminer l’ensemble $E_2$ des points du plan complexe tels que $Z$ soit imaginaire pur.

Exercice 610. Montrer que pour tout nombre complexe $z \in \C \backslash \{-1\}$, $\Frac{1-z}{1+z} \in \R \iff z \in \R$.

Exercice 611. Soit $\lambda$ un complexe non nul tel que $\lambda \neq 1$. \\ On définit la suite $(z_n)$ par $z_0 = 0$ et $z_{n+1} = \lambda z_n + i$. \\

1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $z_n = \Frac{\lambda^n-1}{\lambda-1}i$. \\
2. On pose $\lambda = i$. \\
   1. Calculer $z_4$. \\
   2. Exprimer pour tout $n \in \N$, $z_{n+4}$ en fonction de $z_n$. \\
3. Dans cette question, $\lambda$ est quelconque $\neq 1$. \\ Montrer que $\exist k \in \N, \; \lambda^k = 1 \iff z_{n+k} = z_n$.