Nombres premiers
Exercice 603. d'après Bac 1999
\\ On admet que $1999$ est un nombre premier. \\ Déterminer l'ensemble des couples d'entiers naturels $(a,b)$ admettant pour somme $11994$ et pour pgcd $1999$.Exercice 604. d'après Bac 1999
\\ Soit $p$ un naturel non premier tel que $p \geqslant 2$. \\- Prouver que $p$ admet un diviseur $q$ avec $(1 < q < p)$ tel que $q$ divise $(p-1)$. \\
- L'entier $q$ divise-t-il l'entier $(p-1)!+1$ ?\\
- L'entier $p$ divise-t-il l'entier $(p-1)!+1$ ?
Exercice 605. d'après Bac 1970
\\ $n$ est un naturel non nul, on considère les entiers de la forme $n^4+4$. \\- Décomposer le polynôme $n^4+4$ en produit de deux facteurs du second degré. \\ En déduire que $5$ est le seul nombre premier de la forme $n^4+4$. \\
- Montrer que si $n$ n'est pas un multiple de $5$, alors $n^4+4$ est un multiple de $5$.