Calcul de Pgcd

Exercice 626. Soit $a$ et $b$ $\in \N$ tels que $a > b$. \\

1. Montrer que pgcd$(a,b) = $ pgcd$(a-b,b)$. \\
2. En utilisant l'égalité précédente, calculer pgcd$(4^3-1,4^2-1)$.

Exercice 627. Bac 2001

\\ Soit $n$ un entier naturel non nul. \\ On considère les nombres $a$ et $b$ tels que : $a = 2n^3+5n^2+4n+1$ et $b= 2n^2+n$. \\

1. Montrer que $2n+1$ divise $a$ et $b$. \\
2. Un élève affirme que le pgcd de $a$ et $b$ est $2n+1$. Son affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

Exercice 628. Bac 1981

\\ $n$ étant un relatif quelconque, on considère les entiers relatifs $a$ et $b$ définis par $a=n^3-2n+5$ et $b=n+1$. \\

1. Montrer que pgcd$(a,b) = $ pgcd$(b,6)$. \\
2. Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on pgcd$(a,b)=3$ ? \\
3. Déterminer $n$ pour que $\Frac{a}{b}$ soit un entier relatif.

Exercice 629. Bac 1937

\\ On considère les entiers $p \geqslant 0$ et $n \geqslant 1$. \\ On considère les entiers $a = p\cdot n$ et $b = p \cdot (n-1)$. \\

1. Montrer que le pgcd de $a$ et $b$ est égal à leur différence. \\
2. Réciproquement, montrer que si deux entiers positifs $a$ et $b$ admettent leur différence comme plus grand diviseur commun, alors ils sont de la forme $a = pn$ et $b = p(n-1)$.