Exercices

Exercice 574. Soit $Y$ une variable aléatoire suivant une loi Binomiale de paramètres $\mathscr{B}(8;0,75)$.\\ Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mathbb{E}(X)=1,3$ et de variance $\mathbb{V}(X)=0,57$. \\ On suppose que $X$ et $Y$ sont indépendantes. On note la variable aléatoire $Z = X+Y$. \\

1. Calculer l'espérance et la variance de $Z$. \\
2. Soit $n$ un entier strictement positif. \\ On considère alors $n$ variables aléatoires $Z_1,\hdots,Z_n$ identiques à $Z$ et indépendantes. \\ On note $M_n$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de taille $n$, associe la moyenne des variables aléatoires \[ M_n = \Frac{Z_1+Z_2+\hdots+Z_n}{n} \]
3. Quelle est l'espérance de $M_n$ ? \\
4. Quelles sont les valeurs de $n$ telles que l'écart type de $M_n$ soit inferieur ou égal à $0,5$ ? \\
5. Pour les. valeurs trouvées à la question précédente, montrer que la probabilité que $6,3 \leqslant M_n \leqslant 8,3$ est supérieure ou égale à $0,75$.