Loi de probabilité, espérance, variance

Exercice 569. Un joueur lance une fois un dé bien équilibré. \\ Il gagne 10 euros si le dé marque 1. Il gagne 1 euros si le dé marque 2 ou 4. Il ne gagne rien dans les autres cas. \\ Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur. \\ Quelle est la variance de $X$, notée $\mathbb{V}(X)$ ?
Exercice 570. Un exercice est constitué de deux question Q1 et Q2. \\ Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point, une réponse incorrecte, incomplète ou une absence de réponse rapporte zéro point. \\ On considère que : \\
  • Un candidat pris au hasard a une probabilité 0,8 de répondre correctement à la question Q1. \\
  • Si le candidat répond correctement à Q1, il a une probabilité 0,6 de répondre correctement à Q2. S'il ne répond pas correctement à Q1, il a une probabilité de 0,1 de répondre correctement à Q2. \\
On prend un candidat au hasard et on note : \\
  • $A$ l'événement : "le candidat répond correctement à Q1" \\
  • $B$ l'événement : "le candidat répond correctement à Q2" \\
    1. . Traduire la situation par un arbre pondéré. \\
    2. Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2. \\
    On note : \\
    • $X_1$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q1. \\
    • $X_2$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q2. \\
    • $X = X_1+X_2$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l'exercice. \\
  2. Déterminer l'espérance de $X_1$ et de $X_2$. En déduire l'espérance de $X$. Donner une interprétation de l'espérance de $X$. \\
  3. On souhaite déterminer la variance de $X$. \\
    1. Déterminer $P(X=0)$ et $P(X=2)$. En déduire $P(X=1)$. \\
    2. Montrer que $\mathbb{V}(X) = 0,57$. \\
    3. A-t-on $\mathbb{V}(X) = \mathbb{V}(X_1)+\mathbb{V}(X_2)$ ? Est-ce surprenant ?
Exercice 571. On considère deux dés spéciaux dont les faces sont marquées de la manière suivante : \\
  • dé numéro 1 : 1,2,2,3,4,4. \\
  • dé numéro 2 : 1,3,4,5,6,8 \\
On considère $X$ la variable aléatoire qui donne le chiffre du premier dé. \\ On considère $Y$ la variable aléatoire qui donne le chiffre du deuxième dé. \\ On note $Z$ la variable aléatoire qui donne la somme des deux chiffres obtenus. Ainsi $Z = X+Y$. \\
  1. A l'aide d'un tableau à double entrée, déterminer la loi de probabilité de $(X,Y)$. \\
  2. Donner la loi de probabilité de $Z$. \\
  3. Calculer l'espérance et la variances des variables aléatoires $X$, $Y$ et $Z$. \\
    1. Calculer $\mathbb{E}(3X-2Y)$. \\
    2. Calculer $\mathbb{V}(3X-2Y)$. \\
    3. Calculer $\sigma(3X-2Y)$. \\
Exercice 572. Un sac contient 10 jetons indescernables au toucher : \\ 7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3. \\ On tire simultanément deux jetons de ce sac. \\
  1. On note $A$ l'événement : "obtenir deux jetons blanc". \\ Démontrer que $P(A) = \Frac{7}{15}$. \\
  2. Soit $X$ une variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané. \\
    1. Déterminer la loi de $X$. \\
    2. Déterminer l'espérance de $X$. Interpréter \\
    3. Déterminer la variance de $X$.