Congruences

Exercice 591. \\
  1. Déterminer les restes de la divison de $5^n$ par $13$ pour $n \in \N$. \\
  2. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $31^{4n+1}+18^{4n-1}$est divisible par $13$.
Exercice 592. \\
  1. En remarquant que $999=27\times37$, montrer que pour tout entier positif $n$, $10^{3n} \equiv 1 \modulo{37}$. \\
  2. En déduire le reste de la division par $37$ du nombre $10^{10}+10^{20}+10^{30}$.
Exercice 593. \\
  1. Vérifier que $10^{6} \equiv 1 \modulo{7}$. \\
    1. Montrer que pour tout entier $k \geqslant 1$, $4^{k-1} \equiv 1 \modulo{3}$. \\
    2. En déduire que, pour tout $k \in \N^*$, $4^k \equiv 4 \modulo{6}$. \\
    3. Conclure que, pour tout $k \in \N^*$, $10^k \equiv 4 \modulo{6}$. \\
  3. Déduire des questions précédentes que $7$ diviser $\Sum_{k=1}^{2016} 10^{(10^k)}$.