Démontrer des inégalités

Exercice 20. Soit $\un$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1} = \Frac{3u_n}{1+2u_n}$. \\ Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.
Exercice 21. Soit $\vn$ la suite définie par $v_0 = 0,7$ et pour tout $n \in \N$, $ v_{n+1} = 0,92v_n + 0,3$.\\ Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant 4$.
Exercice 22. Soit $\un$ définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 3 - \Frac{10}{u_n+4}$.\\ Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $u_n \geqslant 1$.
Exercice 23. Soit $\un$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = e \sqrt{u_n}$. \\ Démontrer que $\ptn$, $1 \leqslant u_n \leqslant e^2$.
Exercice 24. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = -1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = -\Frac{1}{2}u_n^2$. \\ Montrer que pour tout entier naturel $n$, $-1 \leqslant u_n \leqslant 0$.
Exercice 25. Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et pour tout $n \geqslant 0$, $u_{n+1} = 3u_n-2n+3$. \\ Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, on a $u_n \geqslant n$.
Exercice 26. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \Frac{1}{3}u_n+n-2$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \geqslant 4$, $u_n \geqslant 0$.\\
  2. En déduire que pour tout $n \geqslant 5$, $u_{n} \geqslant n-3$.
Exercice 27. Soit $(u_n)$ définie par $u_0 =1$ et $u_{n+1} =\sqrt{u_n+1}$. \\ Démontrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est croissante. \\ On admettra que $\un$ est bien définie et strictement positive.

Exercice 28. Avec une fonction

\\ Soit $(u_n)$ définie par $u_0 \in ]0,1[$ et $u_{n+1} = u_n(2-u_n)$.\\
  1. Montrer que $f : x \mapsto x(2-x)$ est croissante sur $[0,1]$. \\
  2. Montrer que $\forall n \in \N$, $0 < u_n < 1$. \\
  3. En déduire que la suite $(u_n)$ est croissante.

Exercice 29. Avec une fonction n°2

\\ Soit $f(x) = \Frac{2x+1}{x+1}$ et la suite $\un$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = f(u_n)$. \\
  1. Etudier les variations de $f$ sur $[0,2]$. \\
  2. Montrer par récurrence que $\forall n \in \N$, $1 \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n \leqslant 2$.

Exercice 30. Inégalité de Bernoulli

\\ Soit $a$ un réel strictement positif. \\ Démontrer l'inégalité de Bernoulli : $\ptn, \; (1+a)^n \geqslant 1+na$.
Exercice 31. Soient les suites $\un$ et $\vn$ définies par $u_{n+1} - v_{n+1} \leqslant \Frac{u_n-v_n}{2}$ et $u_0 = a$, $v_0 =b$ avec $0 < b \leqslant a$. \\ Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n - v_n \leqslant \parenthese{\Frac{1}{2}}^n(u_0-v_0)$.
Exercice 32. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \Frac{2+3u_n}{4+u_n}$.\\
  1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $1-u_{n+1} = \parenthese{\Frac{2}{4+u_n}}(1-u_n)$.\\
  2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant 1-u_n \leqslant \parenthese{\Frac{1}{2}}^n$.