Divisibilité

Exercice 576. Démonstration

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  1. Démontrer que si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair.\\
  2. En déduire que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

Exercice 577. Diviseurs d'un nombre

\\ Soit $n \geqslant 2$, on considère le nombre $N = n^4-1$. \\ Montrer que $n-1$, $n+1$, $n^2+1$ figurent parmi les diviseurs de $N$.

Exercice 578. Divisibilité par 8

\\ Montrer que pour tout entier $n$ impair, $n^2-1$ est divisible par $8$.

Exercice 579. Divisibilité par 2 et 3

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  1. Montrer que pour tout relatif $n$, $n(n^2-1)$ est divisible par $2$ et $3$. \\
  2. Ce nombre est-il divisible par $6$ ?

Exercice 580. $\bm{n+3}$ divise $\bm{n+10}$

\\ Déterminer les entiers relatifs $n$ tel que $n+3$ divise $n+10$.

Exercice 581. Fraction entière

\\ Trouver les valeurs de $n >4$ entier naturel pour lequel la fraction $\Frac{n+17}{n-4}$ soit un entier.

Exercice 582. Fraction irréductible

\\ Montrer que pour tout $n \in \Z$, la fraction $\Frac{10n+3}{6n+1}$ est irréductible.

Exercice 583. Récurrence

\\ On considère la suite $\un$ définie par : pour tout $n \in \N$, $u_n = (a+1)^n-an-1$. \\
  1. Calculer pour $n \in \N$, $u_{n+1}-(a+1)u_n$. \\
  2. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $a^2$ divise $u_n$.
Exercice 584. On souhaite déterminer les entiers naturels $a$ et $b$ tels que $a+b=ab$. \\
  1. On se fixe une solution $(a,b)$. Montrer que $a-1$ divise $a$. \\
  2. Montrer que $a=0$ ou $a=2$. \\
  3. Conclure.

Exercice 585. Somme géométrique

\\ Soit $n \in \N^*$, $k \in \N^*$. \\
  1. Montrer que $(4k+1)^n-1$ est divisible par 4. \\ On pourra utiliser une somme géométrique \\
  2. Justifier alors que $16^n-1$ et $41^n-1$ sont divisibles par 4.

Exercice 586. Somme d'entiers consécutifs

\\ Soit $p \geqslant 1$. On considère $p$ entiers consécutifs $x_1, \hdots, x_p$ et on note $S$ leur somme. \\
  1. Montrer que $S = p\Frac{2x_1+p-1}{2}$. \\
  2. En déduire que $p \mid S$ si et seulement si $p$ est impair.
Exercice 587. Soient $p$ et $n$ deux entiers naturels non nuls. \\ Montrer que l'entier $(p+1)^n-np-1$ est divisible par $p$.
Exercice 588. Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls et $x$ un entier relatif. \\
  1. Montrer que $p$ divise $x^2-x$ si et seulement si $\forall n \in \N^*$, $p$ divise $x^n-x$. \\
  2. En déduire l'ensemble des entiers relatifs $x$ tels que, pour tout $n \in \N^*$, l'entier $x^n-x$ est pair.

Exercice 589. Un incontournable

\\ Démontrer que $\sqrt{2} \notin \Q$ \\ On démontrera au préalable, par un raisonnement par contraposée, que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.
Exercice 590. \\
  1. Montrer que pour tout naturel $n$, il existe des naturels $a_n$ et $b_n$ tels que $(1+\sqrt{2})^n = a_n + b_n \sqrt{2}$. \\
  2. En admettant que $\sqrt{2}$ est irrationnel, montrer que pour tout $n \in \N$, $a_n$ et $b_n$ sont uniques. \\
  3. Montrer que $a_n$ et $b_n$ sont premiers entre eux.