Fonctions trigonométriques

Exercice 487. On considère la fonction $f(x) = \Frac{1}{2+\cos{x}}$. \\ Trouver deux réels $m$ et $M$ tels que pour tout réel $x$, $m \leqslant f(x) \leqslant M$.
Exercice 488. $f$ est la fonction définie par $f(x) = \Frac{2}{2+ \cos{x}}$. \\
  1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$. \\
  2. Montrer que $f$ est paire, périodique et déterminer sa période. \\
  3. Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[-\pi,\pi]$.
Exercice 489. Soit $f$ la fonction définie sur $I = [0;\pi]$ par $f(x) = x\cos(x)-\sin(x)$. \\ Montrer que l'équation $f(x) = -1$ possède une unique solution sur $I$.
Exercice 490. En étudiant $f(x) = (\cos{x})^2 + (\sin{x})^2$, prouver que $\forall x \in \R$, $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$.
Exercice 491. Soit $f(x) = \Frac{ \sin{x}}{2 + \cos{x} }$ définie sur $\intf{0}{2\pi}$. \\ Construire le tableau de variations de $f$ sur $\intf{0}{2\pi}$.
Exercice 492. Soit $f$ définie sur $I = \left[-\Frac{\pi}{2}, \Frac{\pi}{2} \right]$ par $f(x) = \sin{x} - \sin^2{x}$. \\ Déterminer les variations de $f$ sur $I$.

Exercice 493. Inégalité classique

Démontrer que pour tout réel $x \in \Rp$, on a $1-\Frac{x^2}{2} \leqslant \cos{x} \leqslant 1$.
Exercice 494. $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \parenthese{1+\cos{ \Frac{x}{2}}}\sin{\Frac{x}{2}}$. \\
  1. Déterminer la parité et la périodicité de $f$. \\
  2. Déterminer l'intervalle d'étude de $f$. \\
  3. Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\left[-2\pi,2\pi\right]$. \\
  4. Tracer la courbe $\Cf$ sur $[-4\pi, 4\pi]$.
Exercice 495. Soit $f(x) = \cos^2(x)+2\cos(x)+2$. \\
  1. Montrer que pour tout réel $x$, $f(x) \geqslant 1$. \\
  2. Montrer que l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=\pi$ sont des axes de symétrie de $\Cc$. \\
  3. Etudier les variations de $f$ sur $[0,\pi]$. \\ Tracer la courbe $\Cc$ sur l'intervalle $[-2\pi;2\pi]$.
Exercice 496. Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = 2 \sin{x}(1+\cos{x})$. \\
  1. Etudier la périodicité et la parité de $g$ et en déduire l'intervalle minimum sur lequel on peut étudier cette fonction. \\
  2. Montrer que, sur $[0;\pi]$, $g'(x) > 0 \iff x \in \left[0; \Frac{\pi}{3} \right[$. \\ En déduire le tableau de variations de $g$. \\
  3. Calculer $g'(0)$.
Exercice 497. Indiquer si la proposition est vraie ou fausse et proposer une justification de la réponse choisie. \\ Soit $(a_n)$ une suite non constante de réels. Pour tout entier $n$, on pose $u_n = \sin(a_n)$.\\ Proposition : on peut choisir la suite $(a_n)$ telle que la suite $(u_n)$ converge vers $\Frac{\sqrt{2}}{2}$.
Exercice 498. Pour tout réel $x$, on pose $f(x) =\cos(e^{-x^2})$.\\
  1. Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$. \\
  2. Déterminer le tableau de variations complet de $f$.
Exercice 499. Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (2+\cos{x})e^{1-x}$.\\
  1. Montrer que pour tout. réel $x$, $\sqrt{2}\cos\parenthese{x-\ps{4}} = \cos{x}+\sin{x}$. \\
  2. Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $\R$. \\
  3. Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$ puis interpréter géométriquement. \\
    1. Montrer que sur $[0,\pi]$, l'équation $f(x)=3$ admet une unique solution $\alpha$. \\
    2. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. \\
  5. Représenter la courbe $\Cc$ de la fonction $f$ sur $[0;4]$.
Exercice 500. Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = e^{-x}\sin{x}$. \\
  1. Déterminer $\limplus f(x)$ puis interpréter géométriquement. \\
  2. Montrer que $f'(x) = \sqrt{2}e^{-x}\cos\parenthese{x+\ps{4}}$. \\
  3. Etudier les variations de $f$ sur $\left[-\ps{2},\pi\right]$.
Exercice 501.
  1. Résoudre dans $\R$ l'équation $\sin(x) = \Frac{1}{2}$. \\
  2. A l'aide de la courbe représentative de la fonction sinus, résoudre dans $\R$ l'inéquation $\sin(x) < \Frac{1}{2}$. \\
  3. Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \cos(x) + \sin(x)$. \\
    1. Calculer $\sin \parenthese{ x + \Frac{\pi}{4} }$.\\
    2. A l'aide de la question précédente, résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = \Frac{\sqrt{2}}{2}$. \\
    3. Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x) < \Frac{\sqrt{2}}{2}$.
Exercice 502. Montrer que pour tout réel $x \in [0,\pi]$ on a : $x-\Frac{x^3}{6} \leqslant \sin{x} \leqslant 1$.