\\
Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 2u_n+1$. \\
Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2^{n+1}-1$.
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Exercice 2.
Terme général n°2
\\
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \Frac{2}{3}u_n + \Frac{1}{3}n+1$.\\
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2\parenthese{\Frac{2}{3}}^{n}+n$.
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Exercice 3.
Terme général n°3
\\
Soit $(a_n)$ la suite définie par $a_1 = 0,5$ et pour tout $n \geqslant 1$, $a_{n+1} = 0,6a_n + 0,24$.\\
Montrer par récurrence que pour tout $n \geqslant 1$, $a_n = 0,6-0,1\times0,6^{n-1}$.
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Exercice 4.
Terme général n°4
\\
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1 = 2$ et pour tout entier $n \geqslant 1$, $u_{n+1} = 2 - \Frac{1}{u_n}$.\\
Montrer que pour tout $n$ non nul, $u_n = \Frac{n+1}{n}$.
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Exercice 5.
Terme général n°5
\\
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = \Frac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \Frac{3u_n}{1+2u_n}$.\\
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = \Frac{3^n}{3^n+1}$.
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Exercice 6.
Terme général n°6
\\
Soit $\un$ la suite définie par $u_1 = e^{-1}$ et pour tout entier $n \geqslant 1$, $u_{n+1} = e^{-1}\parenthese{1+\Frac{1}{n}}u_n$. \\
Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $u_n = \Frac{n}{e^n}$.
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Exercice 7.
Divisibilité
\\
Montrer que pour tout $n \in \N$, $4^n+2$ est divisible par 3.
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Exercice 8.
Divisibilité n°2
\\
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $n^3-n$ est un multiple de 3.
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Exercice 9.
Divisibilité n°3
\\
Montrer que $\forall n \in \N$, $\;7 \times 3^{5n}+4$ est divisible par 11.
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Exercice 10.
Divisibilité n°4
\\
Montrer que $\forall n \in \N$, 3 divise $5^n-2^n$.
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Exercice 11.
Divisibilité n°5
\\
Montrer que tout entier $n \geqslant 24$ peut s'écrire $n=5a+7b$ avec $(a,b) \in \Z^2$.
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Exercice 12.
Conjecture
\\
Soit $\un$ définie par $u_1=1$ et, pour tout entier $n$, $u_{n+1} = \Frac{ u_n}{\sqrt{u_{n}^2 + 1} }$.\\
Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
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Exercice 13.
Conjecture n°2
\\
Soit $\un$ la suite définie par $u_1 = \frac{1}{3}$ puis pour tout entier $n > 0$, $u_{n+1} = \Frac{n+1}{3n}u_n$. \\
Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
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Exercice 14.
Conjecture n°3
Soit $\un$ la suite définie par $u_0=1$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \Frac{(n+1)^2}{(n+2)^2}u_n$. \\
Conjecturer une expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$ puis démontrer cette conjecture.
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Exercice 15.
Conjecture n°4
\\
Soit $p \geqslant 0$. Soit $\un$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier $n \in \N$, $u_{n+1} = \sqrt{u_n^2 + p^2 }$. \\
Calculer $u_n$ en fonction de $n$.
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Exercice 16.
Suite arithmético-géométrique
\\
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 \in \R$ et $u_{n+1} = au_n+b$ avec $a$ et $b$ deux réels non nuls tels que $a \neq 1$. \\
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = a^n(u_0-\lambda) + \lambda$ avec $\lambda = \Frac{b}{1-a}$.
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Exercice 17.
Suite avec un paramètre $\bm{\alpha}$
\\
Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \Frac{\alpha u_n}{u_n+\alpha}$ avec $\alpha \in \Rpe$.\\
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \Frac{\alpha}{\alpha+n}$.
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Exercice 18.
Dérivée $\bm{n}$-ième
\\
La dérivée $n$-ième d'une fonction $f$ est la fonction notée $f^{(n)}$ obtenue en dérivant $n$-fois la fonction $f$. \\
Soit $f$ définie sur $\R^*$ par $f(x) = \Frac{1}{x}$.\\
Montrer que $f^{(n)}(x) = \Frac{(-1)^n\cdot n!}{x^{n+1}}$.
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Exercice 19.
Avec des factorielles
\\
Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+2} = \Frac{n+1}{n+2}u_n$. \\
Montrer que $\forall n \in \N$, $u_{2n} = \Frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}$.