Droites et plans dans l'espace

Exercice 543. Soient \[ A(-1;-1;3) \quad B(1;1;2) \quad C(1;-1;7) \] Soit $\Delta$ la droite passant par $D(-1;6;8)$ et $E(11;-9;2)$. \\ Montrer que la droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
Exercice 544. Soit $(d)$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x = 3+4t \\ y = 6t \quad t \in \R \\ z = 4-2t \end{cases}$ et le plan $P$ passant par le point $I(2;1;0)$ et perpendiculaire à la droite $(d)$. \\ Donner l'équation cartésienne de $P$.
Exercice 545. Soient $A(0;4;1)$, $B(1;3;0)$, $C(2;-1;-2)$ et $D(7;-1;4)$. \\ Soit $\Delta$ la droite passant par $D$ de vecteur directeur $\vect{u}(2;-1;3)$. \\
  1. Montrer que $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$. \\
  2. Donner une équation cartésienne du plan $(ABC)$. \\
  3. Déterminer une représentation paramétrique de $\Delta$. \\
  4. Déterminer les coordonnées de $H$, point d'intersection de $\Delta$ et du plan $(ABC)$. \\ Interpréter le point $H$.
Exercice 546. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\left( O, \vect{i}, \vect{j}, \vect{k} \right)$, on considère les points : \\ $$ A(3 ; -2 ; 1) \quad B(5 ; 2 ; -3) \quad C(6 ; -2 ; -2) \quad D(4 ; 3 ; 2) $$
  1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés, puis que le triangle $ABC$ est isocèle et rectangle. \\
    1. Montrer que le vecteur $\vect{n} (2 ; 1 ; 2)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$. \\
    2. En déduire une équation du plan $(ABC)$. \\
    3. Montrer que la distance du point $D$ au plan $(ABC)$ est égale à $3$. \\
  3. Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$ en unités de volume.